Cum să înșeli, să manipulezi și să te prezinți într-o lumină favorabilă în măreția matematicii?

La începutul lunii noiembrie 2020, Mateusz Morawiecki s-a referit la matematicienii de la Centrul pentru Modelare Matematică că au arătat că greva femeilor a provocat o creștere a infecțiilor cu 5000. Am prieteni în acest centru - au aflat doar că au prezis acest lucru dintr-un discursul domnului - către Mateusz.

Aș dori să subliniez că, poate contrar titlului articolului, nu-l voi lăuda și nici nu-l voi critica pe actualul premier. cred ca matematică nu este punctul lui forte, dar o astfel de deficiență intelectuală nu va ridica obiecții de la majoritatea dintre voi. Și, în general, nu ar fi un mare matematician într-o poziție responsabilă, dar nu ar fi înțelept în viață și politică? De asemenea, voi menționa că Donald Tusk, în fosta sa campanie prezidențială, a spus (parcă în glumă): „nu poți scrie examene de matematică fără să descarci”. Știi, norul de matematică este omul tău, la fel ca mine. Julian Tuwim era snob în privința ignoranței sale de matematică. Și m-au chemat la bord. Voi observa doar că am avut o premieră la matematică în Polonia. A fost (de cinci ori) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rector al Politehnicii din Lviv, un geometru excelent. Nu pot și nu încerc să-i judec domnia.

Ștergerea gurii este versatilă și veche. Despre asta s-au scris cărți, subțiri și groase. Sunt multe moduri, voi vorbi despre unele, voi incepe cu cele care sunt cusute cu fire groase. Poate că în trecut existau și mai multe astfel de metode, pentru că în monumentalul și primul de acest fel Dicționarul limbii poloneze Samuel Bogumil Linde (publicat în 1807-1814) citim:

matematician, matematician matematician, jongler matematic.

Nu știm cele mai simple acțiuni și vrem cu adevărat să ne dovedim. În urmă cu câțiva ani, un jurnalist din Olsztyn a scris o expunere lungă despre modul în care producătorii ne înșală. De exemplu: pe un pachet de unt scrie „conținut de grăsime 85 la sută” - este 85 la sută într-un cub sau într-un kilogram? Toată Polonia a ciripit. Dar numai profesorii inteligenți de matematică (adică toți profesorii de matematică!) au observat o eroare în raționamentul unuia dintre foștii noștri premieri, Kazimir Martsinkevici, cu mulți ani în urmă. Voi schimba puțin cifrele pentru a fi mai ușor de văzut. A spus cam așa: am cheltuit 150 de milioane de zloți pentru construcția de drumuri și am primit 50 de milioane de la Bruxelles, așa că vom cheltui doar 100. Am economisit 50 la sută. Ei bine, 50/100 este 50 la sută. Unde este greseala? Și dacă am avea 100 de milioane, cât am economisi? Greșeala este subtilă. Apropo de procente, este important să clarificăm de unde le obținem. Aceasta este o greșeală foarte frecventă pe care o fac profesorii. Se spune că un procent este o sutime. Acest lucru nu este permis! Sută la sută, dar întotdeauna e ceva. Dacă cheltuim 150 și cheltuim 100, economisim 50 din 150, adică 33%. Prim-ministrul Martsinkevici a fost profesor de fizică. Ori era un profesor atât de prost încât nu înțelegea procentele, ori le manipula în mod deliberat pentru a obține cel mai bun efect politic. De fapt, l-aș prefera pe cel din urmă. Permiteți-mi să vă amintesc de o anecdotă foarte veche, de dinainte de război. „Tată, am economisit 20 de cenți astăzi!” „E foarte bine, fiule! Cum? „Nu am mers cu tramvaiul până la școală, am alergat după el!” „Ah, fiule, fugi pentru a doua oară pentru un taxi - vei economisi 5 zloți!”

Idei, idei! Majoritatea ideilor de așa-numită contabilitate creativă se bazează pe lacune legale (lege scrisă pe genunchi = porcărie) și se abate de la noțiunea de medie. Iată un exemplu: cum pot fi crescute salariile tuturor în timp ce se scad salariul mediu? Simplu: dați o sumă mică de salariu celor care lucrează deja și, făcând acest lucru, angajați o mulțime de oameni prost plătiți. Media va scădea... și în contextul masei salariale globale, a fost exclus. Se presupune că, până în 1989, un anume director al unei întreprinderi de stat s-a comportat astfel.

Poți lupta direct, folosind analfabetismul matematic al multor cercuri ale societății și combinând matematica (??) cu literatura (??). Iată un text demagogic, dar fictiv (deși bazat pe o publicație reală, înainte de 2010 pentru atenție).

Asistentele vor fi mai bine. În urmă cu doi ani, salariul mediu net al unei asistente medicale din județul Sochaczew era de 1500 PLN. Anul trecut, guvernul a majorat cheltuielile pentru asistența medicală cu jumătate de miliard de zloți. Acesta va fi de două ori mai mult decât în anii precedenți. Hermenegilda Kotsyubinskaya, o asistentă la Spitalul Clinic Central, spune: luna trecută salariul meu a fost de 4500 PLN. Aceasta înseamnă o creștere uriașă, de trei ori a veniturilor din îngrijirea sănătății.

Există cineva care să înșele? Chiar dacă numerele sunt aceleași, puteți vedea ce comparăm aici. salariu mediu în spitalul provincial cu salariul unei persoane într-o lună dată. Poate Hermenegilda este șefa asistentelor, poate a avut multe ture în plus luna aceasta și, în plus, CRH are o grilă de salarii specială? În plus, cei 1500 PLN menționati sunt salarii nete și nu se precizează dacă salariul doamnei Kociubinska este net sau brut. O jumătate de miliard este o sumă uriașă pentru un individ, dar ce înseamnă asta la nivel național? Observăm imediat că „jumătate de miliard” sună mai bine propagandă decât „500 de milioane”. La ce s-au dus 500 de milioane de zloți nu este raportat. Nu se știe de ce 500 milioane zł de două ori mai mult.

Cum îmi pot îmbunătăți rezultatele învățării? Școala X este criticată de autoritățile educaționale pentru rezultatele educaționale slabe (adică un GPA scăzut, deși acestea sunt lucruri diferite!). Directorul găsește o modalitate de a face lucrurile puțin mai bine. Transferă mai mulți elevi din clasa A în clasa B și își atinge scopul: media punctajului la ambele clase a crescut.

Cum este posibil acest lucru? Dacă în clasa A există un elev al cărui GPA este mai mic decât media din clasa A, dar mai mare decât media din clasa C, atunci mutarea lui în clasa B va avea același efect. Credința se bazează pe acest efect Mecislav Chuma i Leshek Mazan, autori ai „Enciclopediei Galice” (editura „Anabasis”, Cracovia), că în ziua în care Sigismund al III-lea Vasa și curtea sa s-au mutat la Varșovia, nivelul mediu de inteligență a crescut în ambele orașe.

Avem tendința de a interpreta datele. Aceasta este cea mai comună întindere non-elementară. Voi începe cu cel mai stupid, dar de încredere exemplu. Cu mulți, mulți ani în urmă, acum defunctul Express Wieczorny a raportat că salariul mediu la Universitatea din Varșovia ar fi de 15000 24 zloti (apoi zloți). Rectorul trebuia să primească cel mai mare salariu, 6, cel mai mic asistent începător, 15. Medie XNUMX!!! manipulare conceptul de medie este o temă de abilitare.

Iată încă două exemple. Știți că o persoană obișnuită din Polonia are mai puțin de două picioare? Ei bine, da: sunt cei care au unul, dar nimeni nu are trei! Al doilea exemplu este mai subtil. Ei bine, eu și soția mea avem propriile noastre mașini. Transportatorul meu consumă mult combustibil, 12,5 litri la 100 km. Asta înseamnă că pentru 100 km am nevoie de 8 litri. Soția mea are un Mitsubishi minuscul - consumă 8 litri la 100 km. Este, de asemenea, mult, dar pentru ca calculele să fie simple, datele trebuie procesate puțin. De multe ori călărim pe același. Prin urmare, consumul mediu de combustibil al celor două mașini ale noastre este media aritmetică de 8 și 12,5. Adunați, împărțiți la 2. Rezultă 10,25 litri. Desigur, este important să mergem adesea în același mod. Deci unde este domeniul de manipulare?

Oh, aici. Știați că consumul de combustibil din SUA este calculat diferit? Ei vor răspunde: „Conduc atâtea mile de la un galon”. Să lăsăm conversia galoanelor în litri și a milelor în kilometri, dar să o aplicăm la mașinile menționate mai sus: a mea și a Comitetului unic de evaluare a căsătoriei noastre. Voi conduce doar 8 km pe litru (100 împărțit la 12,5), soția mea 12,5 km (100 împărțit la 8). În medie, un litru ne va lua... media aritmetică a acestor cifre. Am calculat deja asta o dată. Se dovedește 10 și un sfert - de data aceasta 10,25 kilometri.

Să revenim la standardele europene. Dacă conduc 10,25 km pe un litru, de câți litri ai nevoie pentru 100? Să luăm un calculator: 100 împărțit la 10,25 este ... 9,76. Consumul mediu al mașinilor noastre este de 9,76... și înainte era de 10,25. Unde este greseala? Nu! De fapt, nu în matematică, ci în interpretarea cuvintelor „călătorim la fel de des”. O analiză atentă va arăta că în prima interpretare aceasta înseamnă „conducem același număr de kilometri pe lună”, iar în a doua „folosim aceeași cantitate de benzină”. Ar putea fi adăugată o a treia variabilă: petrecem aceeași perioadă de timp conducând (soția conduce mult mai repede)... și ar fi diferit. Dacă măsurăm ceva, trebuie să avem o bandă de măsurat.

situatii mai subtile. Paradoxul lui Simpson. Explorăm ce este mai bine pentru a elimina mătreața: Coca-Cola sau Pepsi-Cola. Testăm pe femei și bărbați. Aici sunt datele. Aproape toate calculele pot fi făcute în memorie.

Te rog, Cititorule, stai jos. Doar pentru a nu cădea din sentiment. Care este cea mai bună băutură pentru a elimina mătreața la bărbați? Le-am marcat cu roșu numerele mai mari și cu albastru pe cele mai mici. 25 este mai mult de 20, nu? Domnilor: cumpărați Cola pentru mătreață! Dar femeile? Probabil invers? Nu, 60> 53. Doamnelor, luați o Cola.

Compania cumpără reclame la televizor, unde un cuplu fericit (la modă veche: un bărbat și o femeie) scapă de această suferință ușoară cu ajutorul Coca-Cola. Dar există o reclamă Pepsi. Ei bine, pentru că au fost 250 de oameni la test atât aici, cât și aici, ceea ce înseamnă că au fost împărțiți egal. Coca-Cola a ajutat 80 de oameni (32%), Pepsi a ajutat 100 de oameni, 40%. Pe ecran, mulțimea își pierde mătreața în timp ce o cutie de Pepsi se rostogolește în fața camerei. „Generația noastră a ales deja!”

Unde este greseala? Nu. Adică, matematica este bine. Sau mai degrabă doar aritmetic. Pentru a fi corect din punct de vedere matematic, trebuie să luăm mostre comparabile cu aceeași proporție de M ca și K. În caz contrar, calculele nu au sens, de parcă am calcula greutatea medie a unui țânțar și a unui elefant. Putem adăuga și împărți la doi. Ce am calculat? Ei bine, greutatea medie a unui țânțar și a unui elefant. Ce ne va oferi? Un fir.

Dar să o ducem la politică, la SUA, desigur. Susținătorii unuia dintre candidați, spun Bump, ar plânge: suntem mai buni atât pentru doamne, cât și pentru domni. Votează-l pe Jozef Podskok! Suporterii Triden scriau pe bannere: Suntem cei mai buni din lume. Votează rață cu 3 vizuini (Donald).

Bine, cum e cu adevărat? Aceasta este partea cea mai grea. Ce înseamnă „cu adevărat”? Putem spune: „Adevărat este ceea ce este de acord cu realitatea”. Totuși, apare o altă întrebare: cum se măsoară „corespondența cu realitatea”? Dar asta nu mai este matematică și aș vrea să rămân la ea, pentru că doar aici mă simt încrezător.

Despre acest paradox (numit Paradoxul Simpson) se bazează pe multe, multe altele. Este cunoscut în matematică de o sută de ani, dar (relativ) recent științele sociale s-au interesat de ea. Totul a început cu faptul că la una dintre universitățile americane rectorul a observat că fetele sunt acceptate mult mai puțin decât băieții. Ea a cerut rapoarte de la decani... și s-a dovedit că în fiecare facultate raportul dintre acceptați și candidați era mai mare la fete decât la băieți - și dimpotrivă. Recomand cititorului să reformeze exemplul Pepsi și Coca-Cola la situația departamentelor universitare.

O situație și mai subtilă. Toată lumea din lumea matematică cunoaște „exemplul Nebraska”. Undeva în Nebraska, un magazin a fost jefuit și o casă de marcat a fost jefuită. Martorii și-au amintit doar că acest lucru a fost făcut de un cuplu ciudat: un bărbat cu pielea închisă la culoare, cu barbă și o femeie cu trăsături orientale. Au plecat (cauciucuri scârțâind ca în film) într-o Toyota galbenă. Câteva ore mai târziu, polițiștii au reținut... o Toyota galbenă, în care se afla un afro-american cu barbă, însoțit de o asiatică. "Esti tu!". Cătușe, curte. Un matematician experimentat a calculat că un astfel de set (negru + asiatic + galben Toyota) este atât de unic încât 99,999% dintre hoți sunt căutați. A aruncat în sală termeni memorați: evenimente elementare, diagramă Bernoulli, conjuncție. Cuplul s-a dus să stea. Cu toate acestea, l-au angajat pe cel mai bun matematician, care a spus într-un apel: „Bine. Judecăți singuri, predecesorul meu a calculat că probabilitatea ca o mașină întâlnită la întâmplare cu doi pasageri să fie o Toyota galbenă cu una neagră și o japoneză este așa și cutare. Dar aici trebuie să rezolvăm o altă problemă, probabilitatea condiționată. Care este probabilitatea de a întâlni o altă pereche (sau trei, dacă porniți aparatul), dacă știm că una astfel de deja există. »

Nu știm dacă judecătorul a înțeles vreunul dintre argumente. Poate doar că răspunsul depinde de alegerea situației. A fost suficient. A anulat sentința.

O lovitură în cap cu un stâlp. Am tratat întotdeauna o astfel de demagogie (1).

Barurile sunt groaznice: prețurile cărbunelui s-au dublat. Privirea cifrelor este liniștitor: acestea au crescut într-adevăr de la 161 PLN pe tonă la 169 PLN (exercițiu: cu ce procent?). Dar, din moment ce majoritatea oamenilor învață vizual, își vor aminti graficul, nu numerele. Fără să intru în discuții politice, trebuie să spun că o metodă similară a fost folosită de guvern (cea din vara lui 2020), imaginându-și o creștere a cheltuielilor pentru cancer. Aceasta nu este o critică la adresa acestui guvern. Următorul va folosi și această metodă. Este sigur și dă un efect imediat („văzut”).

Să purtăm măști. Legile de răspândire a epidemilor sunt simple și „în sine” inexorabile. Numărul de persoane infectate crește mai rapid, cu cât sunt deja mai mulți. Așa merge avalanșa. Asta spune matematica. Există, totuși, un mare „dar” – poate mai mult de unul. În primul rând, așa este, în timp ce „nu se întâmplă nimic”. Când avalanșa din pădure va fi oprită, când epidemia este încetinită de comportamentul înțelept al tuturor dintre noi, atunci nu vom „mulțumi” atât matematicii, ci vom crea un alt model. Da, un model matematic diferit (ca în exemplul jafului magazinului din Nebraska). Matematica, o știință frumoasă, ajută doar la înțelegerea lumii. Atâtea, dar numai atâtea. Să vedem: sărim aproape șase metri cu un stâlp, fără el nu putem sări nici măcar 2,50. Apoi ia stalpul în mână și sari. E o pacoste al naibii, nu-i așa?

utilizarea matematica in stiintele sociale este dificil, periculos și, mai rău, tentant. Cunoscătorii Tatralor îl asociază cu râpa Drege: o coborâre blândă, iarbă de la Garnets la Chyorny Stav... Așa arată de sus. Curând râpa se transformă într-o capcană de care doar TOPR, Serviciul de Salvare Voluntariat Tatra, ne poate salva.

Matematicienii numesc această creștere a avalanșelor și epidemilor creștere exponențială. După cum am scris deja, această creștere poate fi suprimată, dar nu din nou. Cu toate acestea, să ne uităm la două grafice ale aceleiași curbe (doar la o scară diferită). Cine va înțelege, dau formula acestei funcții: y = 2^xdoi la putere. Vă rugăm să priviți diagramele. Din ce punct are loc accelerarea rapidă a creșterii? Toată lumea va indica: este mai mult sau mai puțin aproape de punctul marcat cu un punct mare. Dar pe primul grafic această valoare este aproape de 1,5, pe al doilea este mai mult de 3, iar pe al treilea este 4,5. Dacă atunci vor fi vreun fel de demonstrații de stradă, atunci putem spune: vă rog, din momentul demonstrației, curba a urcat, a urcat brusc. În gloria matematicii! Și aceasta este doar o proprietate a curbei exponențiale. Scara și punctul corespunzătoare de la care începe accelerația rapidă pot fi alese liber (2).

Alegerile prezidențiale... în SUA, desigur. Ne amintim încă de farsa din noiembrie 2020. Țara, care este încă puterea nr. 1, nu a făcut față numărului de pagini. Până la urmă s-a dovedit că Joe Biden nu numai că a câștigat mai multe voturi electorale, dar ar fi câștigat dacă decizia ar fi fost luată cu majoritate simplă. În situația pe care o voi descrie, nu există nicio manipulare matematică - doar un exemplu despre modul în care rezultatul alegerilor poate depinde de rezoluția adoptată. Dacă știi, e greu să protestezi. Un fundaș în fotbal poate considera că interdicția de handbal este greșită, dar dacă este ignorată, se va acorda o penalizare.

Imaginează-ți că următorii candidați pentru președinția Greciei: Apollo, Euclid, stârc, Pitagora i Astfel de. Oricine aleg alegătorii va deveni președinte. Sunt 100. Au fost aleși prin vot popular, iar apoi partidele reprezentate în Parlament, adică Circul Maxim, le-au stabilit ordinea preferințelor. Ceva nu este în regulă pentru că Circus Maximus este un nume latin, nu grecesc. Dar să nu ne certăm cu sursele.

Cine va deveni presedinte? Să vedem cum depinde de hirotonire. Preferințele partidului trebuie înțelese în așa fel încât alegătorii săi să voteze pentru prima persoană din lista rămasă în alegeri după turul următor.

Dacă hotărârea prevede că va câștiga candidatul care pune pe primul loc cei mai mulți alegători, va câștiga Pitagora, pentru că va fi ales de 25 + 9 = 34 de alegători. Așa se întâmplă la școală când alegem, de exemplu, cel mai bun elev. In locul nostru: Pitagora este ales de popor!
În alegerile prezidențiale moderne, cel mai des este folosit sistemul de tur al doilea. Votăm un singur candidat, dar dacă niciunul dintre ei nu depășește 50 la sută, se organizează un al doilea tur. Câștigătorul este cel care câștigă majoritatea absolută a voturilor, adică pur și simplu mai multe voturi decât adversarul său. În acest scenariu, Pitagora (34 de voturi) și Thales (20) vor trece în turul doi. În al doilea tur, alegătorii își distribuie voturile în funcție de preferințele lor. Toți, cu excepția pitagoreenilor, îl preferă pe Thales lui Pitagora. Aceasta este o situație comună în care un partid are un electorat dur și este înconjurat de reticență generală. Deci, în prelungiri, Pitagora nu va primi niciun vot. Rezultat 66:34 în favoarea lui Thales și o victorie decisivă. O situație similară a avut loc în 2001 în Slovacia, unde un candidat care a câștigat clar primul tur a pierdut în al doilea. La fel a fost și la alegerile prezidențiale din Polonia din 2005: liderul a fost învins în al doilea după primul tur. Trăiască poveștile prezidențiale!
În ciclism se folosește așa-numitul sistem australian. După fiecare tură de pistă, ultimul este eliminat. Această versiune a legii electorale se numește „alegerea directorilor”. În acest sistem, a fost ales primul președinte al Poloniei independente, Gabriel Narutowicz. Cum ar arăta în Grecia noastră?

Treaba este mai complicată. Vă rugăm să urmăriți. În primul tur, Euclid a primit cele mai puține voturi și a renunțat (ce păcat, așa de bun matematician!). Partidul votează apoi în al doilea tur pentru al doilea de pe lista sa: Tsaplya. În turul doi, Heron are 19 + 10 = 29 de voturi. Apollonius este eliminat (17 voturi). Partid și apoi votați pentru Heron. În turul trei, Pitagora (electoratul fix) are 34 de voturi, Thales 20 și Heron 29 + 17 = 46 de voturi. Poveștile au ieșit. Nici Falesienilor (Partidul B) nu le plac pitagoreicii – ei preferă vestitorii. Și alții, cu excepția partidelor stabile A și E. În turnul final, Heron îl învinge cu ușurință pe Pitagora 66:34. Viva Presedintele Heron!

4. La Eurovision Song Contest s-au acordat 12 puncte pentru primul loc pe listă, 10 pentru locul doi, 9 pentru al treilea și așa mai departe. Să presupunem cam același scor 6-4-3-2-1. Deci s-au acordat puncte în trei meciuri de atletism (trei echipe, câte doi jucători în fiecare competiție, în 1958 Polonia a câștigat împotriva SUA și Marii Britanii!). Rezultatele noastre vor fi următoarele:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Greci, iată-l pe președintele vostru Euclid!

5. Cititorii ghicesc că trebuie doar să numărăm voturile, astfel încât să se dovedească că Apollonius este cel mai bun. Într-adevăr, Apollonius este cel mai bun - pentru că el este cel mai bun. Toată lumea pierde în fața lui Apollonius! De ce?

Căci câți alegători l-au pus pe Apollonius deasupra lui Heron? Să calculăm: 25+17+9=51 înseamnă majoritate. Nu mult, dar totuși.

Cât de departe este Apollonius înaintea lui Euclid? 20 + 19 + 17 = 56, majoritatea dintre ele.

Câți îl preferă pe Apollonius Thales: 19+17+10+9=55>50.

În cele din urmă, Apollonius din Pitagora preferă 20 + 19 + 17 + 10 = 66 de alegători din 100.

De atunci - poporul grec, capabil să gândească logic - de atunci, mai ales, Apollonius preferă orice alt candidat; la urma urmei, el este cel care ar trebui să ne conducă pentru următorul mandat! Apropie-te, Apollonius, președintele nostru ales! Vei fi cel de-al nostru 44.