Coronavirus și educație matematică – Colecții parțial comandate

Virusul care ne-a lovit conduce la reforma educațională rapidă. mai ales la nivelurile superioare de învăţământ. Pe această temă, puteți scrie un eseu mai lung, cu siguranță va exista un flux de disertații de doctorat despre metodologia învățării la distanță. Dintr-un anumit punct de vedere, aceasta este o întoarcere la rădăcini și la obiceiurile uitate ale autostudiului. Așa a fost, de exemplu, în școala secundară de la Kremeneț (la Kremeneț, acum în Ucraina, care a existat în 1805-31, a vegetat până în 1914 și a cunoscut perioada de glorie în 1922-1939). Elevii au învățat acolo pe cont propriu – abia după ce au învățat au intrat profesorii cu corecții, lămuriri finale, ajutor în locuri dificile etc. e. Când am devenit student, au mai spus că ar trebui să dobândim noi înșine cunoștințe, că doar comandăm și trimitem cursurile la universitate. Dar pe atunci era doar o teorie...

În primăvara lui 2020, nu sunt singurul care a descoperit că lecțiile (inclusiv prelegeri, exerciții etc.) pot fi desfășurate foarte eficient de la distanță (Google Meet, Microsoft Teams etc.), cu prețul multă muncă. din partea profesorului și doar o dorință de „a obține o educație” pe de altă parte; dar și cu oarecare confort: stau acasă, în fotoliu, iar la cursurile tradiționale, studenții făceau adesea și altceva. Efectul unui astfel de antrenament poate fi chiar mai bun decât în ​​cazul sistemului tradițional, datând din Evul Mediu, cu lecții. Ce va mai rămâne din el când virusul se va duce în iad? Cred că... destul de multe. Dar vom vedea.

Astăzi voi vorbi despre seturi parțial comandate. E simplu. Deoarece o relație binară într-o mulțime nevidă X se numește relație de ordin parțial atunci când există

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosof,

Președinte al Academiei Poloneze de Științe în 1957–1962).

1. Reflexiv, adică pentru fiecare ∈ există ",
2. Trecător, adică dacă „, și „, atunci”,
3. Semi-asimetrice, adică ("∧")→ =

Un șir este o mulțime cu următoarea proprietate: pentru oricare două elemente, această mulțime este fie „sau y”. Antichain este...

Opreste opreste! Poate fi înțeles ceva din toate acestea? Desigur ca este. Dar vreunul dintre Cititori (știind altfel) a înțeles deja ce este aici?

nu cred! Și acesta este canonul predării matematicii. Tot la școală. Mai întâi, o definiție decentă, strictă, iar apoi, cei care nu au adormit de plictiseală vor înțelege cu siguranță ceva. Această metodă a fost impusă de „marii” profesori de matematică. El trebuie să fie atent și strict. Este adevărat că așa ar trebui să fie până la urmă. Matematica trebuie să fie o știință exactă (Vezi si: ).

Trebuie să mărturisesc că la universitatea în care lucrez după ce am ieșit la pensie de la Universitatea din Varșovia am predat și eu atâția ani. Doar în ea se afla faimoasa găleată cu apă rece (să rămână așa: era nevoie de o găleată!). Deodată, abstracția înaltă a devenit ușoară și plăcută. Acordați atenție: ușor nu înseamnă ușor. Boxerul ușor are și el greu.

Zâmbesc amintirilor mele. Am fost învățat noțiunile de bază ale matematicii de decanul de atunci al catedrei, un matematician de primă clasă care tocmai sosise dintr-un lung ședere în Statele Unite, ceea ce la vremea aceea era ceva extraordinar în sine. Cred că a fost puțin snob când a uitat puțin poloneză. Ea a abuzat de vechiul polonez „ce”, „deci”, „azalea” și a inventat termenul: „relație semi-asimetrice”. Îmi place să-l folosesc, este foarte precis. Imi place. Dar nu cer acest lucru de la studenți. Aceasta este denumită în mod obișnuit „antisimetrie scăzută”. Zece frumoase.

Cu mult timp în urmă, pentru că în anii șaptezeci (ai secolului trecut) a avut loc o mare, bucuroasă reformă a predării matematicii. Aceasta a coincis cu începutul perioadei scurte a domniei lui Eduard Gierek - o anumită deschidere a țării noastre către lume. „Copiii pot fi învățați și matematică superioară”, au exclamat Marii Învățători. A fost realizat un rezumat al prelegerii universitare „Fundamentals of Mathematics” pentru copii. Aceasta a fost o tendință nu numai în Polonia, ci și în toată Europa. Rezolvarea ecuației nu a fost suficientă, fiecare detaliu trebuia explicat. Pentru a nu fi nefondat, fiecare dintre Cititori poate rezolva sistemul de ecuații:

dar elevii trebuiau să justifice fiecare pas, să facă referire la afirmații relevante etc. Acesta a fost un exces clasic de formă față de conținut. Îmi este ușor să critic acum. Și eu am fost cândva un susținător al acestei abordări. Este incitant... pentru tinerii pasionați de matematică. Aceasta, desigur, a fost (și, de dragul atenției, eu).

Dar destulă digresiune, să trecem la treabă: o prelegere care era „teoretic” destinată studenților de la Politehnică și ar fi fost uscată ca fulgii de cocos dacă nu era ea. exagerez putin...

Bună dimineața pentru tine. Subiectul de astăzi este curățarea parțială. Nu, acesta nu este un indiciu de curățare neglijentă. Cea mai bună comparație ar fi să luați în considerare care este mai bun: supă de roșii sau prăjitură cremă. Răspunsul este clar: în funcție de ce. Pentru desert - fursecuri, iar pentru un preparat hrănitor: supă.

În matematică, ne ocupăm de numere. Sunt ordonate: sunt din ce în ce mai mici, dar din două numere diferite, unul este întotdeauna mai mic, ceea ce înseamnă că celălalt este mai mare. Sunt aranjate în ordine, ca literele din alfabet. În jurnalul de clasă, ordinea poate fi următoarea: Adamcik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Hholnitsky (sunt prieteni și colegi de clasă din clasa mea!). De asemenea, nu avem nicio îndoială că Matusyak „Matushelyansky” Matushevsky „Matisyak. Simbolul pentru „inegalitate dublă” are sensul „înainte”.

În clubul meu de călătorie, încercăm să facem listele în ordine alfabetică, dar după nume, de exemplu, Alina Wrońska „Warvara Kaczarska”, Cesar Bouschitz etc. În evidențele oficiale, ordinea ar fi inversată. Matematicienii se referă la ordinea alfabetică ca fiind lexicografic (un lexic este mai mult sau mai puțin ca un dicționar). Pe de altă parte, o astfel de ordine, în care într-un nume format din două părți (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) ne uităm mai întâi la a doua parte, este o ordine antilexicografică pentru matematicieni. Titluri lungi, dar conținut foarte simplu.

1. Ordine liniara: statii si opriri pe calea ferata Habovka-Zakopane din Podhale, construita in 1899 (las las cititorului decodarea abrevierilor).

Toate aceste comenzi se numesc ordine de linie. Comandăm pe rând: primul, al doilea, al treilea. Totul este în ordine, de la primul până la ultimul punct. Nu are întotdeauna sens. La urma urmei, aranjam cărțile în bibliotecă nu așa, ci pe secțiuni. Doar în interiorul departamentului ne aranjam liniar (de obicei alfabetic).

2. Ordine liniară: la pornirea motorului mașinii, executăm acțiuni într-o ordine consecventă.

Cu proiecte mai mari, mai ales în lucrul în echipă, nu mai avem o ordine liniară. Să ne uităm la smochin. 3. Vrem să construim un mic hotel. Avem deja bani (celula 0). Întocmim autorizații, colectăm materiale, începem construcția și, în același timp, facem o campanie de publicitate, căutăm angajați și așa mai departe. Când ajungem la „10”, primii oaspeți se pot face check-in (un exemplu din poveștile domnului Dombrowski și micul lor hotel din suburbiile Cracoviei). Noi avem ordine neliniară – unele lucruri se pot întâmpla în paralel.

În economie, veți învăța despre conceptul de cale critică. Acesta este setul de acțiuni care trebuie efectuate secvențial (și asta se numește un lanț în matematică, mai multe despre asta într-un moment) și care necesită cel mai mult timp. Reducerea timpului de construcție este o reorganizare a căii critice. Dar mai multe despre asta în alte prelegeri (vă reamintesc că citesc o „prelecție universitară”). Ne concentrăm pe matematică.

Diagramele precum figura 3 se numesc diagrame Hasse (Helmut Hasse, matematician german, 1898–1979). Fiecare efort complex trebuie planificat în acest fel. Vedem secvențe de acțiuni: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematicienii le numesc șiruri. Întreaga idee constă din patru lanțuri. În contrast, grupele de activitate 1-2-3-4, 5-6-7 și 8-9 sunt anti-lanțuri. Iată cum se numesc. Faptul este că într-un anumit grup, niciuna dintre acțiuni nu depinde de cea anterioară.

4. Aceasta este, de asemenea, o diagramă Hasse.

să mergem la figura 4. Ce este impresionant? Dar ar putea fi o hartă de metrou într-un oraș! Căile ferate subterane sunt întotdeauna grupate în linii - nu trec de la una la alta. Liniile sunt linii separate. În orașul Fig. 4 este cuptor linie (amintiți-vă că cuptor se scrie „boldem” – în poloneză se numește jumătate de gros).

În această diagramă (Fig. 4) există un ABF scurt galben, un ACFPS cu șase stații, un ADGL verde, un DGMRT albastru și cel mai lung roșu. Matematicianul va spune: această diagramă Hasse are cuptor lanţuri. Este pe linia roșie șapte statie: AEINRUW. Dar antilanțuri? Acolo sunt ei șapte. Cititorul a observat deja că am subliniat de două ori cuvântul șapte.

Antilant acesta este un astfel de set de stații încât este imposibil să ajungi de la una la alta fără un transfer. Când „înțelegem” puțin, vom vedea următoarele antilanțuri: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Vă rugăm să verificați, de exemplu, că nu este posibil să călătoriți de la niciuna dintre stațiile BCLTV la un alt BCTLV fără transfer, mai exact: fără a fi nevoie să vă întoarceți la postul prezentat mai jos. Câte antilanțuri sunt? șapte. Ce dimensiune are cea mai mare? Coace (din nou cu aldine).

Vă puteți imagina, studenților, că coincidența acestor numere nu este întâmplătoare. Aceasta este. Acest lucru a fost descoperit și dovedit (adică întotdeauna așa) în 1950 de Robert Palmer Dilworth (1914–1993, matematician american). Numărul de rânduri necesare pentru a acoperi întregul set este egal cu dimensiunea celui mai mare antilanț și invers: numărul de antilanț este egal cu lungimea celui mai lung antilanț. Acesta este întotdeauna cazul într-un set parțial ordonat, de exemplu. unul care poate fi vizualizat. Diagrama Hassego. Aceasta nu este o definiție strictă și corectă. Aceasta este ceea ce matematicienii numesc o „definiție de lucru”. Aceasta este oarecum diferită de „definiția de lucru”. Acesta este un indiciu despre cum să înțelegeți seturile parțial ordonate. Aceasta este o parte importantă a oricărui antrenament: vezi cum funcționează.

Abrevierea engleză este - acest cuvânt sună frumos în limbile slave, un pic ca un ciulin. Rețineți că și ciulinul este ramificat.

Foarte frumos, dar cui are nevoie? Voi, dragi studenți, aveți nevoie de el pentru a promova examenul și acesta este probabil un motiv suficient de bun pentru a-l studia. Ascult, ce întrebări? Ascult, domnule de sub fereastră. Oh, întrebarea este, va fi vreodată acest lucru de folos Domnului în viața ta? Poate nu, dar pentru cineva mai deștept decât tine, cu siguranță... Poate pentru analiza drumului critic într-un proiect economic complex?

Scriu acest text la mijlocul lunii iunie, la Universitatea din Varșovia au loc alegerile pentru rector. Am citit mai multe comentarii de la internauți. Există o cantitate surprinzătoare de ură (sau „ura”) față de „oamenii educați”. Cineva a scris direct că oamenii cu studii universitare știu mai puțin decât cei cu studii universitare. Desigur, nu voi intra în discuție. Sunt doar trist că se întoarce opinia consacrată în Republica Populară Polonă că totul se poate face cu ciocanul și dalta. Mă întorc la matematică.

teorema lui Dillworth are mai multe aplicații interesante. Una dintre ele este cunoscută sub numele de teorema căsătoriei.smochin. 6). 

Există un grup de femei (mai degrabă fete) și un grup puțin mai mare de bărbați. Fiecare fată gândește așa: „M-aș putea căsători cu asta, pentru alta, dar niciodată în viața mea pentru o treime”. Și așa mai departe, fiecare are propriile preferințe. Desenăm o diagramă, ducând la fiecare dintre ele o săgeată de la tipul pe care nu îl respinge ca candidat pentru altar. Î: Pot fi potriviți cuplurile astfel încât fiecare să-și găsească un soț pe care îl acceptă?

teorema lui Philip Hall, spune că acest lucru se poate face - în anumite condiții, despre care nu le voi discuta aici (apoi la cursul următoare, studenți, vă rog). Rețineți, totuși, că satisfacția masculină nu este menționată deloc aici. După cum știți, femeile sunt cele care ne aleg, și nu invers, așa cum ni se pare nouă (vă reamintesc că sunt autoare, nu autoare).

Niște matematici serioase. Cum rezultă teorema lui Hall de la Dilworth? E foarte simplu. Să ne uităm din nou la figura 6. Lanțurile de acolo sunt foarte scurte: au lungimea de 2 (curgând în direcție). Un set de omuleți este un anti-lanț (tocmai pentru că săgețile sunt doar spre). Astfel, poți acoperi întreaga colecție cu atâtea anti-lanțuri câte bărbați sunt. Deci fiecare femeie va avea o săgeată. Și asta înseamnă că poate părea ca tipul pe care îl acceptă!!!

Stai, întreabă cineva, asta e tot? Este totul aplicație? Hormonii se vor înțelege cumva și de ce matematica? În primul rând, aceasta nu este întreaga aplicație, ci doar una dintr-o serie mare. Să ne uităm la una dintre ele. Fie (Fig. 6) să însemne nu reprezentanți ai sexului mai bun, ci mai degrabă cumpărători prozaici, iar acestea sunt mărci, de exemplu, mașini, mașini de spălat, produse de slăbit, oferte de agenții de turism etc. Fiecare cumpărător are mărci pe care le acceptă și respinge. Se poate face ceva pentru a vinde ceva tuturor și cum? Aici se termină nu numai glumele, ci și cunoștințele autorului articolului pe această temă. Tot ce știu este că analiza se bazează pe o matematică destul de complexă.

Predarea matematicii în școală înseamnă predarea algoritmilor. Aceasta este o parte importantă a învățării. Dar încet ne îndreptăm spre învățarea nu atât a matematicii cât a metodei matematice. Prelecția de astăzi a fost doar despre asta: vorbim despre construcții mentale abstracte, ne gândim la viața de zi cu zi. Vorbim despre lanțuri și antilanțuri în seturi cu relații inverse, tranzitive și alte pe care le folosim în modelele vânzător-cumpărător. Computerul va face toate calculele pentru noi. Încă nu va crea modele matematice. Încă câștigăm cu gândirea noastră. Oricum, sper cat mai mult!