O nouă mașină de matematică? Modele elegante și neputință

Potrivit unor experți, mașinile pot inventa sau, dacă vrei, pot descoperi matematici complet noi, la care noi, oamenii, nu le-am văzut sau ne-am gândit niciodată. Alții susțin că mașinile nu inventează nimic de la sine, pot reprezenta doar formulele pe care le cunoaștem într-un mod diferit și nu pot face față deloc unor probleme matematice.

Recent, un grup de oameni de știință de la Institutul Technion din Israel și Google a prezentat sistem automat de generare a teoremelorpe care au numit-o maşina Ramanujan după matematician Srinivasi Ramanujanacare a dezvoltat mii de formule inovatoare în teoria numerelor cu educație formală mică sau deloc. Sistemul dezvoltat de cercetători a transformat o serie de formule originale și importante în constante universale care apar în matematică. O lucrare pe acest subiect a fost publicată în revista Nature.

Una dintre formulele generate de mașină poate fi utilizată pentru a calcula valoarea unei constante universale numite număr catalan, mai eficient decât utilizarea formulelor descoperite de oameni cunoscute anterior. Cu toate acestea, oamenii de știință susțin că mașina lui Ramanujan nu este menit să îndepărteze matematica de la oameni, ci mai degrabă să ofere ajutor matematicienilor. Cu toate acestea, acest lucru nu înseamnă că sistemul lor este lipsit de ambiție. În timp ce scriu ei, Mașina „încearcă să imite intuiția matematică a marilor matematicieni și să ofere indicii pentru căutări matematice ulterioare”.

Sistemul face ipoteze despre valorile constantelor universale (cum ar fi) scrise ca formule elegante numite fracții continuate sau fracții continuate (1). Acesta este numele metodei de exprimare a unui număr real ca fracție într-o formă specială sau limita unor astfel de fracții. O fracție continuă poate fi finită sau poate avea o infinitate de coeficienti._i/b_i; fracția A_k/B_k obţinută prin eliminarea fracţiilor parţiale din fracţia continuată, începând de la (k + 1)-a, se numeşte k-a reducere şi poate fi calculată prin formulele:_-1= 1, A₀=b₀, B_-1=0,V₀= 1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; dacă șirul reducerilor converge către o limită finită, atunci fracția continuă se numește convergentă, în caz contrar este divergentă; O fracție continuă se numește aritmetică dacă_i= 1, p₀ finalizat, b_i (i>0) – natural; fracția continuă aritmetică converge; fiecare număr real se extinde la o fracție aritmetică continuă, care este finită numai pentru numerele raționale.

1. Un exemplu de scriere a lui Pi ca o fracție continuă

Algoritmul mașinii Ramanujan selectează orice constante universale pentru partea stângă și orice fracții continuate pentru partea dreaptă și apoi calculează fiecare parte separat cu o anumită precizie. Dacă ambele părți par să se suprapună, cantitățile sunt calculate cu mai multă precizie pentru a se asigura că potrivirea nu este o potrivire sau o inexactitate. Important este că există deja formule care vă permit să calculați valoarea constantelor universale, de exemplu, cu orice precizie, astfel încât singurul obstacol în verificarea conformității paginii este timpul de calcul.

Înainte de a implementa astfel de algoritmi, matematicienii au trebuit să folosească unul existent. cunoștințe matematice i teoremeface o astfel de presupunere. Datorită presupunerilor automate generate de algoritmi, matematicienii le pot folosi pentru a recrea teoreme ascunse sau rezultate mai „elegante”.

Cea mai notabilă descoperire a cercetătorilor nu este atât cunoștințe noi, cât o nouă presupunere de o importanță surprinzătoare. Asta permite calculul constantei catalane, o constantă universală a cărei valoare este necesară în multe probleme de matematică. Exprimarea acesteia ca o fracție continuă într-o ipoteză recent descoperită permite cele mai rapide calcule până în prezent, înfrângând formulele anterioare care au durat mai mult să fie procesate într-un computer. Acest lucru pare să marcheze un nou punct de progres pentru informatică de când calculatoarele au învins pentru prima dată jucătorii de șah.

Ceea ce AI nu poate face față

Algoritmi de mașină După cum puteți vedea, ei fac unele lucruri într-un mod inovator și eficient. Confruntați cu alte probleme, sunt neputincioși. Un grup de cercetători de la Universitatea Waterloo din Canada a descoperit o clasă de probleme de utilizare învățare automată. Descoperirea este legată de un paradox descris la mijlocul secolului trecut de matematicianul austriac Kurt Gödel.

Matematicianul Shai Ben-David și echipa sa au prezentat un model de învățare automată numit predicție maximă (EMX) într-o publicație din revista Nature. S-ar părea că o sarcină simplă s-a dovedit a fi imposibilă pentru inteligența artificială. Problema pusa de echipa Shay Ben-David se rezumă la prezicerea celei mai profitabile campanii de publicitate, concentrată pe cititorii care vizitează cel mai des site-ul. Numărul de posibilități este atât de mare încât rețeaua neuronală nu este capabilă să găsească o funcție care să prezică corect comportamentul utilizatorilor site-ului, având la dispoziție doar un mic eșantion de date.

S-a dovedit că unele dintre problemele puse de rețelele neuronale sunt echivalente cu ipoteza continuumului propusă de Georg Cantor. Matematicianul german a demonstrat că cardinalitatea mulțimii numerelor naturale este mai mică decât cardinalitatea mulțimii numerelor reale. Apoi a pus o întrebare la care nu a putut răspunde. Și anume, el se întreba dacă există o mulțime infinită a cărei cardinalitate este mai mică decât cardinalitatea lui set de numere realedar mai multa putere set de numere naturale.

Matematician austriac al secolului al XNUMX-lea. Kurt Gödel a demonstrat că ipoteza continuumului este indecidabilă în sistemul matematic actual. Acum se dovedește că matematicienii care proiectează rețele neuronale s-au confruntat cu o problemă similară.

Deci, deși imperceptibil pentru noi, după cum vedem, este neajutorat în fața limitărilor fundamentale. Oamenii de știință se întreabă dacă cu probleme din această clasă, cum ar fi seturile infinite, de exemplu.