De ce nu împărțim la zero?
Conținut
Cititorii se pot întreba de ce dedic un articol întreg unei probleme atât de banale? Motivul este numărul uluitor de studenți (!) care desfășoară cu dezinvoltură operațiunea sub nume. Și nu numai studenți. Uneori prind și profesori. Ce vor putea face elevii unor astfel de profesori la matematică? Motivul imediat pentru scrierea acestui text a fost o conversație cu un profesor pentru care împărțirea la zero nu a fost o problemă...
Cu zero, da, cu excepția bătăliei de la nimic, pentru că nu prea trebuie să-l folosim în viața de zi cu zi. Nu mergem la cumpărături pentru zero ouă. „Există o persoană în cameră” sună cumva natural, iar „zero oameni” sună artificial. Lingviștii spun că zero este în afara sistemului lingvistic.
Ne putem lipsi de zero și în conturile bancare: utilizați doar - ca pe un termometru - roșu și albastru pentru valori pozitive și negative (rețineți că pentru temperatură este firesc să folosiți roșu pentru numere pozitive, iar pentru conturile bancare este invers, deoarece debitul ar trebui să declanșeze un avertisment, deci roșu este foarte recomandat).
Prin includerea zero ca număr natural, atingem problema diferențierii numere cardinale od gospodărie. În 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
puterea numărului este aceeași cu numărul locului în care se află. În caz contrar, este deja în secvența 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..
Numărul de seturi singleton este al doilea, numărul de seturi cu două elemente este al treilea și așa mai departe. Trebuie să explicăm de ce, de exemplu, nu numărăm de la zero locurile sportivilor în competiții. Apoi, clasat pe primul loc ar primi o medalie de argint (aurul i-a revenit câștigătorului locului zero) și așa mai departe. O procedură oarecum similară a fost folosită în fotbal — nu știu dacă Cititorii știu că „liga unu” înseamnă „urmând pe cei mai buni”. „, iar liga zero este chemată să devină „liga majoră”.
Uneori auzim argumentul că trebuie să începem de la zero, pentru că este convenabil pentru IT. Continuând aceste considerații, definiția unui kilometru ar trebui schimbată - ar trebui să fie 1024 m, deoarece acesta este numărul de octeți într-un kilooctet (mă voi referi la o glumă cunoscută de informaticieni: „Care este diferența dintre un boboc și un student la informatică și un student în anul cinci al acestei facultăți? că un kilobyte este 1000 kiloocteți, ultimul - că un kilometru este 1024 metri")!
Un alt punct de vedere, care ar trebui luat deja în serios, este acesta: măsuram mereu de la zero! Este suficient să te uiți la orice cântar pe riglă, pe cântare de uz casnic, chiar și pe ceas. Deoarece măsurăm de la zero și numărarea poate fi înțeleasă ca o măsură cu o unitate adimensională, atunci ar trebui să numărăm de la zero.
Este o chestiune simplă, dar...
Să lăsăm raționamentul general și să revenim la împărțirea la zero. Treaba este simplă și ar fi simplă dacă nu ar fi... și ce? Să ne gândim și să încercăm. Cât poate fi - unu împărțit la zero? Să vedem: 1/0 = x. Înmulțiți ambele părți cu numitorul părții stângi.
Obtinem 1=0. Ceva este greșit! Ce s-a întâmplat? Ah ghici! Presupunerea că există un coeficient de unitate și zero duce la o contradicție. Și dacă unul nu poate fi împărțit la zero, atunci un alt număr poate. Dacă, Cititorule, ridici din umeri și te întrebi de ce scriu autorul (adică eu) despre asemenea banalități, atunci... Mă bucur mult!
Formula 0/0 = 0 ar putea fi apărată pe o bază încăpățânată, dar contrazice regula potrivit căreia rezultatul împărțirii unui număr la sine este egal cu unul. Absolut, dar destul de diferite sunt simboluri precum 0/0, °/° și altele asemenea în calcul. Ele nu înseamnă niciun număr, ci sunt desemnări simbolice pentru anumite secvențe de anumite tipuri.
Într-o carte de inginerie electrică, am găsit o comparație interesantă: împărțirea la zero este la fel de periculoasă ca și electricitatea de înaltă tensiune. Acest lucru este normal: legea lui Ohm spune că raportul dintre tensiune și rezistență este egal cu curentul: V = U / R. Dacă rezistența ar fi zero, un curent teoretic infinit ar circula prin conductor, arzând toți conductorii posibili.
Am scris odată o poezie despre pericolele împărțirii la zero pentru fiecare zi a săptămânii. Îmi amintesc că cea mai dramatică zi a fost joi, dar este păcat de toată munca mea în acest domeniu.
Când împărțiți ceva la zero
Luni foarte devreme
Săptămâna ce tocmai s-a întâmplat
Ai eșuat deja lamentabil.
Când marți după-amiază
Pune zero la numitor
Îți spun atunci, te înșeli
Matematician rău!
Când prin zero, prin perversiune,
Vreau să ne despărțim miercuri
Vei avea multe probleme
Ai fân și apă în cap!
Un anume Bartek era cu noi.
Era în contradicție cu regulile.
Joi, este divizibil cu zero.
El nu mai este între noi!
Dacă o dorință ciudată te stăpânește
Împărțiți la zero vineri
Voi fi sincer, voi fi sincer:
Început prost pentru acest weekend.
Când e zero, undeva sâmbătă
Despărțitorul va fi al tău (nu îndrăzneț)
Îngenunchează sub gardul bisericii.
Aceasta este învierea ta.
Vrei zero sub liniuță,
Faceți o sărbătoare duminica
Aduceți cretă, tablă neagră.
Scrie: nu este divizibil cu zero!
Zero este asociat cu golul și neantul. Într-adevăr, a ajuns la matematică ca o cantitate care, adăugată la oricare, nu o schimbă: x + 0 = x. Dar acum zero apare în mai multe alte valori, mai ales ca pornirea scalei. Dacă în afara ferestrei nu există nici temperatură pozitivă, nici îngheț, atunci ... acesta este zero, ceea ce nu înseamnă că nu există deloc temperatură. Un monument de clasa zero nu este unul care a fost demolat de mult timp și pur și simplu nu există. Dimpotrivă, este ceva de genul Wawel, Turnul Eiffel și Statuia Libertății.
Ei bine, importanța lui zero într-un sistem pozițional cu greu poate fi supraestimată. Știi, Cititorule, câte zerouri are Bill Gates în contul său bancar? Nu știu, dar aș vrea jumătate. Aparent, Napoleon Bonaparte a observat că oamenii sunt ca zerourile: ei dobândesc sens prin poziție. În As the Years, As the Days Pass, de Andrzej Wajda, pasionatul artist Jerzy explodează: „Philister e zero, nihil, nimic, nimic, nihil, zero”. Dar zero poate fi bun: „abatere zero de la normă” înseamnă că totul merge bine și ține-o așa!
Să revenim la matematică. Zero poate fi adunat, scazut si inmultit cu impunitate. „Am luat zero kilograme”, îi spune Manya Anyei. „Și acest lucru este interesant, pentru că am slăbit aceeași greutate”, răspunde Anya. Deci hai să mâncăm șase zero porții de înghețată de șase ori, nu ne va face rău.
Nu putem împărți la zero, dar putem împărți la zero. O farfurie cu zero găluște poate fi înmânată cu ușurință celor care așteaptă mâncare. Cât va primi fiecare?
Zero nu este pozitiv sau negativ. Acesta și numărul nepozitivи nenegativ. Ea satisface inegalitățile x≥0 și x≤0. Contradicția „ceva pozitiv” nu este „ceva negativ”, ci „ceva negativ sau egal cu zero”. Matematicienii, contrar regulilor limbajului, vor spune întotdeauna că ceva este „egal cu zero” și nu „zero”. Pentru a justifica această practică, avem: dacă citim formula x = 0 „x este egal cu zero” atunci x = 1 citim „x este egal cu unu”, care ar putea fi înghițit, dar cum rămâne cu „x = 1534267” ? De asemenea, nu puteți atribui o valoare numerică caracterului 00nici ridica zero la o putere negativă. Pe de altă parte, puteți înrădăcina zero după bunul plac... și rezultatul va fi întotdeauna zero.
Funcția exponențială y = ax, baza pozitivă a lui a, nu devine niciodată zero. Rezultă că nu există un logaritm zero. Într-adevăr, logaritmul lui a la baza b este exponentul la care trebuie ridicată baza pentru a obține logaritmul lui a. Pentru a = 0, nu există un astfel de indicator și zero nu poate fi baza logaritmului. Totuși, zeroul din „numitorul” simbolului lui Newton este altceva. Presupunem că aceste convenții nu conduc la o contradicție.
dovezi false
Împărțirea la zero este un subiect comun pentru demonstrațiile false și se întâmplă chiar și matematicienilor cu experiență. Permiteți-mi să vă dau două dintre exemplele mele preferate. Primul este algebric. Voi „demonstra” că toate numerele sunt egale. Să presupunem că există două numere care nu sunt egale. Prin urmare, unul dintre ele este mai mare decât celălalt, fie a > b. Să presupunem că c este diferența lor
c \uXNUMXd a - b. Deci avem a - b = c, de unde a = b + c.
Înmulțim ambele părți ale acestuia din urmă cu a - b:
a2 – ab = ab + ac – b2 – bc.
Traduc ak în partea stângă, bineînțeles că îmi amintesc despre schimbarea semnului:
a2 - ab - ac = ab - b2 - bc.
Exclud factori comuni:
A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),
Împărtășesc și am ceea ce mi-am dorit:
a = b.
Și de fapt și mai ciudat, pentru că am presupus că a > b și am obținut că a = b. Dacă în exemplul de mai sus „trișarea” este ușor de recunoscut, atunci în demonstrația geometrică de mai jos nu este atât de ușor. Voi demonstra că... trapezul nu există. Figura numită în mod obișnuit trapez nu există.
Dar să presupunem mai întâi că există un astfel de lucru ca un trapez (ABCD în figura de mai jos). Are două laturi paralele („baze”). Să întindem aceste baze, așa cum se arată în imagine, astfel încât să obținem un paralelogram. Diagonalele sale împart cealaltă diagonală a trapezului în segmente ale căror lungimi se notează x, y, z, ca în figura 1. Din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare, obținem proporțiile:
unde definim:
Oraz
unde definim:
Scădeți laturile egalității marcate cu asteriscuri:
Scurtând ambele părți cu x − z, obținem - a / b = 1, ceea ce înseamnă a + b = 0. Dar numerele a, b sunt lungimile bazelor trapezului. Dacă suma lor este zero, atunci și ei sunt zero. Asta înseamnă că o figură ca un trapez nu poate exista! Și din moment ce dreptunghiuri, romburi și pătrate sunt, de asemenea, trapeze, atunci, dragă cititor, nu există nici romburi, dreptunghiuri și pătrate...
Ghici Ghici
Împărtășirea informațiilor este cea mai interesantă și mai provocatoare dintre cele patru activități de bază. Aici, pentru prima dată, întâlnim un fenomen atât de des întâlnit la vârsta adultă: „ghici răspunsul, apoi verifică dacă ai ghicit bine”. Acest lucru este foarte potrivit exprimat de Daniel K. Dennett („How to Make Mistakes?”, în How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varșovia, 1997):
Această metodă de „ghicire” nu interferează cu viața noastră de adult – poate pentru că o învățăm devreme și ghicitul nu este dificil. Din punct de vedere ideologic, același fenomen are loc, de exemplu, în inducția (completă) matematică. În același loc, „ghicim” formula și apoi verificăm dacă presupunerea noastră este corectă. Elevii întreabă întotdeauna: „De unde am cunoscut tiparul? Cum poate fi scos?” Când studenții îmi pun această întrebare, le transform într-o glumă întrebarea: „Știu asta pentru că sunt profesionist, pentru că sunt plătit să știu”. Elevilor de la școală li se poate răspunde în același stil, doar mai serios.
exercițiu. Rețineți că începem adunarea și înmulțirea scrisă cu unitatea cea mai mică și împărțirea cu unitatea cea mai mare.
O combinație de două idei
Profesorii de matematică au subliniat întotdeauna că ceea ce numim separarea adulților este unirea a două idei diferite din punct de vedere conceptual: carcasă i separare.
Primul (carcasă) apare în sarcinile în care arhetipul este:
Împărțire-împarte Acestea sunt sarcini precum:
? (Reținem stilul original al acestei probleme, preluat din manualul lui Julian Zgozalewicz publicat la Cracovia în 1892 - zlotul este zlotul renan, moneda care a fost în circulație în Imperiul Austro-Ungar până la începutul secolului al XNUMX-lea).
Acum luați în considerare două probleme cu cel mai vechi manual de matematică în limba poloneză, părintele Tomasz Clos (1538). Este o divizie sau un coupe? Rezolvați-o așa cum ar trebui școlarii din secolul al XNUMX-lea:
(Traducere din poloneză în poloneză: Există un litru și patru oale într-un butoi. O oală înseamnă patru litri. Cineva a cumpărat 20 de butoaie de vin cu 50 zł pentru comerț. Taxa și impozitul (acciză?) vor fi de 8 zł. Cât de mult să vinde un litru pentru a câștiga 8 zł?)
Sport, fizică, congruență
Uneori, în sport, trebuie să împărțiți ceva la zero (raportul golurilor). Ei bine, judecătorii se ocupă cumva de asta. Cu toate acestea, în algebra abstractă ele sunt pe ordinea de zi. cantități diferite de zeroal cărui pătrat este zero. Poate fi chiar explicat simplu.
Să considerăm o funcție F care asociază un punct (y, 0) cu un punct din planul (x, y). Ce este F2, adică o dublă execuție a lui F? Funcția zero - fiecare punct are o imagine (0,0).
În cele din urmă, cantitățile diferite de zero al căror pătrat este 0 sunt pâine aproape zilnică pentru fizicieni, iar numerele de forma a + bε, unde ε ≠ 0, dar ε2 = 0, spun matematicienii numere duble. Ele apar în analiza matematică și în geometria diferențială.
La urma urmei, există ceva în aritmetică care are împărțirea cu zero cel puțin în nume. Vine din congruenţă. Fie Z să desemneze mulțimea numerelor întregi. Împărțirea mulțimii Z la p înseamnă că echivalăm fiecare număr (întreg) cu unele altele, și anume cu cele cu care diferența lor este divizibilă. Deci, când avem cinci tipuri de numere corespunzătoare numerelor 0, 1, 2, 3, 4 - resturile posibile atunci când sunt împărțite la 5. Formula este scrisă astfel:
mod când diferența este multiplă.
Pentru = 2, avem doar două numere: 0 și 1. Împărțirea numerelor întregi în două astfel de clase este echivalentă cu împărțirea lor în par și impare. Să-l înlocuim acum. Diferența este întotdeauna divizibilă cu 1 (orice număr întreg este divizibil cu 1). Este posibil să luăm =0? Să încercăm: când diferența dintre două numere este multiplu de zero? Doar când aceste două numere sunt egale. Deci împărțirea unui set de numere întregi la zero are sens, dar nu este interesant: nu se întâmplă nimic. Cu toate acestea, trebuie subliniat că aceasta nu este o împărțire a numerelor în sensul cunoscut din școala elementară.
Astfel de acțiuni sunt pur și simplu interzise, precum și matematica lungă și largă.
Orez. 2. Identificarea numerelor folosind comparație
(modul 5 și modul 2)
