Călătorie în lumea ireală a matematicii

Am scris acest articol într-o miercuri, după o prelegere și o practică la o facultate de informatică. Mă apăr de criticile elevilor acestei școli, cunoștințele lor, atitudinea față de știință și cel mai important: abilitățile de învățare. Asta... nimeni nu-i învață.

De ce sunt atât de defensiv? Dintr-un motiv simplu – sunt la o vârstă la care, probabil, lumea din jurul meu nu este încă înțeleasă. Poate îi învăț cum să înhame și să dezbrace caii, mai degrabă decât să conducă o mașină? Poate îi învăț să scrie cu un pix? Deși am o părere mai bună despre persoană, cred că „urmăresc”, dar...

Până de curând, în liceu se vorbea despre numere complexe. Și miercurea asta am venit acasă, am renunțat - aproape niciunul dintre studenți nu aflase încă ce este și cum să folosească aceste numere. Unii oameni privesc toate matematicile ca o gâscă la o ușă pictată. Dar am fost și sincer surprins când mi-au spus cum să învăț. Mai simplu spus, fiecare oră de prelegere înseamnă două ore de studiu acasă: citirea unui manual, pregătirea inițială în rezolvarea problemelor pe o anumită temă etc. Pregătindu-ne astfel, ajungem la exerciții, unde îmbunătățim totul... În mod plăcut, studenții au crezut se pare că a sta la o prelegere - de cele mai multe ori privind pe fereastră - garantează deja că cunoștințele vor intra în cap.

Stop! Ajunge. Voi descrie răspunsul meu la o întrebare pe care am primit-o în timpul unui curs cu bursieri de la Fondul Național pentru Copii, instituție care sprijină copiii talentați din toată țara. Întrebarea (sau mai degrabă propunerea) a fost:

— Ne poți spune ceva despre numerele ireale?

„Desigur”, am răspuns. 

Realitatea numerelor

„Un prieten este un alt eu, prietenia este raportul dintre numerele 220 și 284”, a spus Pitagora. Ideea aici este că suma divizorilor numărului 220 este egală cu 284, iar suma divizorilor numărului 284 este egală cu 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Rețineți că Iacov biblic i-a dat lui Esau 220 de oi și berbeci în semn de prietenie (Geneza 32:14).

O altă coincidență interesantă între numerele 220 și 284 este aceasta: cele mai mari șaptesprezece numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , și 59.

Suma lor este 2x220, iar suma pătratelor este 59x284.

Primul. Nu există conceptul de „număr real”. Este ca și cum, după ce ai citit un articol despre elefanți, întrebi: „Acum vom cere non-elefanți”. Există întregi și incomplete, raționale și iraționale, dar nu există unele ireale. Specific: numerele care nu sunt reale nu sunt numite invalide. Există multe tipuri de „numere” în matematică și sunt la fel de diferite unele de altele precum, pentru a face o comparație zoologică, un elefant și un râme.

În al doilea rând, vom efectua operații despre care probabil știți deja că sunt interzise: luarea de rădăcini pătrate a numerelor negative. Ei bine, matematica va depăși astfel de bariere. Are totuși sens asta? În matematică, ca în orice altă știință: dacă o teorie va intra pentru totdeauna în depozitul de cunoștințe depinde... de aplicarea ei. Dacă este inutil, atunci ajunge la gunoi, apoi într-un gunoi din istoria cunoașterii. Fără numerele despre care vorbesc la sfârșitul acestui articol, este imposibil să dezvolți matematica. Dar să începem cu câteva lucruri mici. Știi ce sunt numerele reale. Ele umplu linia numerică strâns și fără goluri. Știți și ce sunt numerele naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - nu se vor potrivi toate memorie chiar și cea mai mare. Au și un nume frumos: natural. Au atât de multe proprietăți interesante. Cum iti place asta:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Este firesc să fii interesat de numerele naturale”, a spus Carl Lindenholm, iar Leopold Kronecker (1823–1891) a spus succint: „Dumnezeu a creat numerele naturale – orice altceva este opera omului!” Fracțiile (numite numere raționale de către matematicieni) au și proprietăți uimitoare:

si in egalitate:

puteți, începând din partea stângă, să frecați plusurile și să le înlocuiți cu semne de înmulțire - iar egalitatea va rămâne adevărată:

Și așa mai departe.

După cum se știe, pentru fracțiile a/b, unde a și b sunt numere întregi și b ≠ 0, ei spun Numar rational. Dar ei se numesc așa doar în poloneză. Vorbesc engleza, franceza, germana si rusa. Numar rational. În engleză: numere raționale. Numere irationale Este irațional, irațional. Vorbim și în poloneză despre teorii, idei și fapte iraționale - aceasta este o nebunie, imaginară, inexplicabilă. Se spune că femeilor le este frică de șoareci - cât de irațional este asta?

În antichitate, numerele aveau un suflet. Fiecare însemna ceva, fiecare simboliza ceva, fiecare reflecta o particulă din acea armonie a Universului, adică în greacă, Cosmosul. Cuvântul „cosmos” în sine înseamnă „ordine, ordine”. Cele mai importante au fost șase (numărul perfect) și zece, suma numerelor consecutive 1+2+3+4, formate din alte numere, a căror simbolism a supraviețuit până în zilele noastre. Așa că Pitagora a învățat că numerele sunt începutul și sursa tuturor, și doar descoperirea numere irationale a îndreptat mișcarea pitagoreică către geometrie. Știm raționamentul de la școală că

√2 - număr irațional

Căci să presupunem că există: și că această fracție nu poate fi redusă. În special, atât p cât și q sunt impare. Să punem la pătrat: 2q²=p². Numărul p nu poate fi impar, de atunci p² ar fi, de asemenea, iar partea stângă a egalității este un multiplu de 2. Prin urmare, p este par, adică p = 2r, deci p²= 4r². Reducem ecuația 2q²= 4r² prin 2. Se obține q²= 2r² și vedem că și q trebuie să fie par și am presupus că nu a fost. Contradicția rezultată completează demonstrația – această formulă poate fi găsită adesea în fiecare carte de matematică. Această dovadă indirectă este o tehnică preferată a sofiştilor.

Această imensitate nu putea fi înțeleasă de pitagoreici. Totul trebuie să poată fi descris prin numere, iar diagonala unui pătrat, pe care oricine îl poate desena cu un băț în nisip, nu are lungime, adică măsurabilă. „Credința noastră a fost zadarnică”, par să spună pitagoreicii. Cum așa? E cam... irațional. Uniunea a încercat să se salveze prin metode sectare. Oricine îndrăznește să-și dezvăluie existența numere irationale, urma să fie pedepsit cu moartea și, se pare, prima sentință a fost executată chiar de maestru.

Dar „gândul a trecut nevătămat”. Epoca de aur a sosit. Grecii i-au învins pe perși (Maraton 490, Plache 479). Democrația s-a întărit, au apărut noi centre de gândire filozofică și noi școli. Adepții pitagoreismului încă se luptau cu numerele iraționale. Unii predicau: noi nu vom înțelege această taină; nu putem decât să-l contemplăm și să-l admirăm pe Uncharted. Aceștia din urmă erau mai pragmatici și nu respectau Secretul. În acel moment, au apărut două constructe mentale care au făcut posibilă înțelegerea numerelor iraționale. Faptul că astăzi le înțelegem destul de bine îi aparține lui Eudoxus (secolul al V-lea î.Hr.), iar abia la sfârșitul secolului al XIX-lea matematicianul german Richard Dedekind a dat teoriei lui Eudoxus dezvoltarea corespunzătoare în conformitate cu cerințele logicii matematice stricte.

O mulțime de numere sau tortură

Ai putea trăi fără numere? Chiar dacă, ce fel de viață ar fi... Ar trebui să mergem la magazin să cumpărăm pantofi cu un băț, cu care măsuram în prealabil lungimea piciorului. „Aș dori mere, oh, iată-le!” – le-am arăta vânzătorilor la piață. „Cât de departe este de la Modlin la Nowy Dwór Mazowiecki”? "Destul de aproape!"

Numerele sunt folosite pentru a măsura. De asemenea, le folosim pentru a exprima multe alte concepte. De exemplu, scara hărții arată cât de mult a scăzut suprafața țării. Scara doi la unu, sau pur și simplu 2, exprimă faptul că ceva a fost dublat. Să spunem matematic: fiecărei omogenități îi corespunde un număr - scara lui.

Sarcina. Am realizat o copie xerografică, mărind imaginea de câteva ori. Apoi fragmentul mărit a fost din nou mărit de b ori. Care este scara generală de mărire? Răspuns: a × b înmulțit cu b. Aceste scale trebuie înmulțite. Numărul minus unu, -1, corespunde unei precizii care este centrată, adică unei rotații de 180 de grade. Ce număr corespunde unei rotații de 90 de grade? Nu există un astfel de număr. Este, este... sau mai bine zis, va fi în curând. Ești pregătit pentru tortura mentală? Fii curajos și ia rădăcina pătrată a minus unu. Ascult? Ce nu poți face? La urma urmei, ți-am spus să fii curajos. Scoate-o afara! Hei, ei bine, trage, trage... Te ajut... Aici: −1 Acum că îl avem, să încercăm să-l folosim... Desigur, acum putem lua rădăcinile tuturor numerelor negative, pt. exemplu.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- „indiferent de angoasa mentală pe care aceasta o implică.” Acesta este ceea ce a scris Girolamo Cardano în 1539, încercând să depășească dificultățile mentale asociate cu - așa cum a ajuns să fie numit în curând - cantități imaginare. A gandit asa...

...Sarcina. Împărțiți 10 în două părți, al căror produs este egal cu 40. Îmi amintesc din episodul anterior că a scris așa ceva: Evident imposibil. Totuși, să facem asta: împărțim 10 în două părți egale, fiecare egală cu 5. Înmulțiți-le - obținem 25. Din 25 rezultat, acum scădem 40, dacă doriți, și obținem -15. Acum uitați: √-15 adăugat și scăzut din 5 vă oferă produsul lui 40. Aceste numere sunt 5-√-15 și 5 + √-15. Rezultatul a fost verificat de Cardano după cum urmează:

„Indiferent de angoasa mentală pe care o presupune aceasta, înmulțiți 5 + √-15 cu 5-√-15. Obținem 25 – (-15), care este egal cu 25 + 15. Deci, produsul este 40…. Este cu adevărat dificil.”

Ei bine, cât este: (1 + √-1) (1-√-1)? Să ne înmulțim. Amintiți-vă că √-1 × √-1 = -1. Grozav. Acum o problemă mai dificilă: de la a + b√-1 la ab√-1. Ce s-a întâmplat? Desigur, așa: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Ce este atât de interesant la asta? De exemplu, faptul că putem lua în considerare expresii pe care „nu le știam înainte”. Formula de înmulțire prescurtată pentru²-b² probabil vă amintiți formula pentru²+b² nu s-a întâmplat pentru că nu s-a putut întâmpla. În domeniul numerelor reale, polinomul²+b² acest lucru este inevitabil. Să notăm „rădăcina noastră” pătrată a „minus unu” cu litera i.²= -1. Acesta este un număr prim „ireal”. Și acesta este ceea ce descrie un avion care se învârte cu 90 de grade. De ce? La urma urmelor,²= -1, iar combinarea unei rotații de 90 de grade cu o altă rotație similară produce o rotație de 180 de grade. Ce tip de rotație este descris? Este clar - o viraj de 45 de grade. Ce înseamnă numărul -i? E putin mai complicat:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Deci -i descrie și o rotație de 90 de grade, exact în direcția opusă rotației lui i. Care este stânga și care este dreapta? Trebuie să faceți o programare. Presupunem că numărul i specifică rotația în direcția pe care matematicienii o consideră pozitivă: în sens invers acelor de ceasornic. Numărul -i descrie rotația în direcția în care pointurile se mișcă.

Dar există numere precum i și -i? Sunt! Pur și simplu le-am adus la viață. Ascult? Că ele există doar în capul nostru? Pai la ce sa te astepti? Toate celelalte numere există și ele doar în mintea noastră. Trebuie să vedem dacă numărul de nou-născuți va supraviețui. Mai exact, designul este logic și vor fi de folos pentru ceva? Vă rog să mă credeți pe cuvânt că totul este în regulă și că aceste numere noi sunt cu adevărat utile. Numerele precum 3+i, 5-7i, într-o formă mai generală: a+bi se numesc numere complexe. Ți-am arătat cum le poți obține prin rotirea avionului. Ele pot fi introduse în diferite moduri: ca puncte ale unui plan, ca anumite polinoame, ca anumite tablouri numerice... și de fiecare dată sunt aceleași: ecuația x² +1=0 nu exista niciun element... hocus pocus deja exista!!!! Sa ne bucuram si sa ne bucuram!!!

Sfârșitul turului

Aceasta încheie primul nostru tur al tărâmului numerelor false. Dintre celelalte numere nepământene, le voi aminti și pe cele care au infinit de cifre în față și nu în spate (se numesc 10-adic, pentru noi p-adic sunt mai importante, unde p este un număr prim), de exemplu X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Să numărăm X te rog². Deoarece? Ce se întâmplă dacă calculăm pătratul unui număr care are un număr infinit de cifre în spate? Ei bine, hai să facem la fel. Să aflăm că X² = H.

Să găsim un alt astfel de număr cu un număr infinit de cifre în față care satisface ecuația. Sugestie: pătratul unui număr care se termină cu șase se termină și cu șase. Pătratul unui număr care se termină în 76 se termină și el în 76. Pătratul unui număr care se termină în 376 se termină și el în 376. Pătratul unui număr care se termină în 9376 se termină și el în 9376. Pătratul unui număr care se termină în XNUMX... Există și numere care sunt atât de mici încât, deși sunt pozitive, rămân mai mici decât orice alt număr pozitiv. Sunt atât de mici încât uneori este suficient să le pătrați pentru a obține zero. Există numere care nu îndeplinesc condiția a × b = b × a. Există și numere infinite. Câte numere naturale există? Infinit multe? Da, dar cât? În ce număr poate fi exprimat acesta? Răspuns: cel mai mic dintre numerele infinite; este marcat cu o literă frumoasă: A și completat cu un indice zero A₀ , aleph-zero.

Sunt și numere despre care nu știm că există... sau în care putem crede sau nu cum vrei. Și apropo de asta: sper să vă placă în continuare Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.