AȘA CINE, adică: ÎNCERCAȚI UNDE POȚI - partea a 2-a

În episodul anterior ne-am ocupat de Sudoku, un joc de aritmetică în care numerele sunt aranjate practic în diverse diagrame după anumite reguli. Cea mai comună variantă este o tablă de șah 9×9, împărțită suplimentar în nouă celule 3×3. Numerele de la 1 la 9 trebuie puse pe el astfel încât să nu se repete nici pe un rând vertical (matematicienii spun: într-o coloană), nici pe un rând orizontal (matematicienii spun: pe un rând) - și, în plus, astfel încât nu se repeta. repetați în orice pătrat mai mic.

Na smochin. 1 vedem acest puzzle într-o versiune mai simplă, care este un pătrat de 6 × 6 împărțit în dreptunghiuri de 2 × 3. Introducem în el numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6 - astfel încât să nu se repete vertical, nici orizontal, nici în fiecare dintre hexagoanele selectate.

Să încercăm afișat în pătratul de sus. Îl poți completa cu numere de la 1 la 6 conform regulilor stabilite pentru acest joc? Este posibil - dar ambiguu. Să vedem - desenați un pătrat în stânga sau un pătrat în dreapta.

Putem spune că aceasta nu este baza puzzle-ului. De obicei presupunem că un puzzle are o singură soluție. Sarcina de a găsi diferite baze pentru „marele” Sudoku, 9x9, este o sarcină dificilă și nu există nicio șansă de a o rezolva complet.

O altă legătură importantă este sistemul contradictoriu. Pătratul din mijloc jos (cel cu numărul 2 în colțul din dreapta jos) nu poate fi completat. De ce?

Distracție și retrageri

Jucăm mai departe. Să folosim intuiția copiilor. Ei cred că divertismentul este o introducere în învățare. Să mergem în spațiu. pornit smochin. 2 toată lumea vede grila tetraedrudin mingi, de exemplu, mingi de ping-pong? Amintiți-vă lecțiile de geometrie de la școală. Culorile din partea stângă a imaginii explică de ce este lipit la asamblarea blocului. În special, trei bile de colț (roșii) vor fi lipite într-una singură. Prin urmare, trebuie să fie același număr. Poate 9. De ce? De ce nu?

Oh, nu am exprimat-o sarcini. Sună cam așa: este posibil să înscrieți numerele de la 0 la 9 în grila vizibilă astfel încât fiecare față să conțină toate numerele? Sarcina nu este dificilă, dar cât de mult trebuie să vă imaginați! Nu voi strica plăcerea cititorilor și nu voi da o soluție.

Aceasta este o formă foarte frumoasă și subestimată. octaedru regulat, construit din două piramide (=piramide) cu bază pătrată. După cum sugerează și numele, octaedrul are opt fețe.

Există șase vârfuri într-un octaedru. Se contrazice cubcare are șase fețe și opt vârfuri. Marginile ambelor bulgări sunt aceleași - câte douăsprezece fiecare. Acest solide duble - asta înseamnă că prin conectarea centrelor fețelor cubului obținem un octaedru, iar centrele fețelor octaedrului ne vor da un cub. Ambele denivelări funcționează ("pentru că trebuie să") Formula lui Euler: Suma numărului de vârfuri și a numărului de fețe este cu 2 mai mult decât numărul de muchii.

3. Un octaedru regulat în proiecție paralelă și o rețea octaedrică compusă din sfere în așa fel încât fiecare muchie să aibă patru sfere.

Sarcina 1. Mai întâi, notează ultima propoziție a paragrafului anterior folosind o formulă matematică. Pe smochin. 3 vezi o grilă octaedrică, formată tot din sfere. Fiecare margine are patru bile. Fiecare față este un triunghi de zece sfere. Problema este stabilită independent: este posibil să se pună numere de la 0 la 9 în cercurile grilei, astfel încât după lipirea unui corp solid, fiecare perete să conțină toate numerele (de aici rezultă că fără repetare). Ca și înainte, cea mai mare dificultate în această sarcină este modul în care plasa este transformată într-un corp solid. Nu pot să explic în scris, așa că nici aici nu dau soluția.

4. Două icosaedre din mingi de ping-pong. Observați schema de culori diferită.

deja Platon (și a trăit în secolele V-IV î.Hr.) cunoștea toate poliedrele regulate: tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru i icosahedron. Este uimitor cum a ajuns acolo - fără creion, fără hârtie, fără stilou, fără cărți, fără smartphone, fără internet! Nu voi vorbi aici despre dodecaedru. Dar sudoku-ul icosaedric este interesant. Vedem acest bulgăre ilustrația 4și rețeaua acesteia fig. 5.

5. Plasă regulată a icosaedrului.

Ca și până acum, aceasta nu este o grilă în sensul în care ne amintim (?!) de la școală, ci un mod de a lipi triunghiuri din bile (bile).

Sarcina 2. Câte bile sunt necesare pentru a construi un astfel de icosaedru? Următorul raționament rămâne corect: deoarece fiecare față este un triunghi, dacă trebuie să fie 20 de fețe, atunci sunt necesare până la 60 de sfere?

6. Grila unui icosaedru din sfere. Fiecare cerc este, de exemplu, o minge de ping-pong, dar construcția cercurilor pe cercuri marcate cu aceeași culoare se îmbină într-una singură. Deci avem douăsprezece sfere (= douăsprezece vârfuri: roșu, albastru, violet, albastru și opt galben).

Este ușor de observat că trei numere din icosaedru nu sunt suficiente. Mai exact: este imposibil să enumerați vârfurile cu numerele 1, 2, 3 astfel încât fiecare față (triunghiulară) să aibă aceste trei numere și să nu existe repetări. Este posibil cu patru numere? Da, este posibil! Să ne uităm la Orez. 6 și 7.

7. Iată cum se numerotează sferele care alcătuiesc icosaedrul astfel încât fiecare față să conțină alte numere decât 1, 2, 3, 4. Care dintre corpurile din fig. 4 este colorat așa?

Sarcina 3. Trei dintre cele patru numere pot fi alese în patru moduri: 123, 124, 134, 234. Găsiți cinci astfel de triunghiuri în icosaedrul din fig. 7 (precum și din ilustrații unu).

Alocare 4 (necesită o foarte bună imaginație spațială). Icosaedrul are douăsprezece vârfuri, ceea ce înseamnă că poate fi lipit împreună din douăsprezece bile (smochin. 7). Rețineți că există trei vârfuri (= bile) etichetate cu 1, trei cu 2 și așa mai departe. Astfel, bile de aceeași culoare formează un triunghi. Ce este acest triunghi? Poate echilateral? Uita-te din nou ilustrații unu.

Următoarea sarcină pentru bunicul / bunica și nepotul / nepoata. Părinții își pot încerca în sfârșit și ei mâna, dar au nevoie de răbdare și timp.

Sarcina 5. Cumpărați douăsprezece (de preferință 24) mingi de ping-pong, vreo patru culori de vopsea, o pensulă și lipiciul potrivit - nu recomand cele rapide precum Superglue sau Droplet deoarece se usucă prea repede și sunt periculoase pentru copii. Lipici pe icosaedru. Îmbrăcați-vă nepoata cu un tricou care va fi spălat (sau aruncat) imediat după aceea. Acoperiți masa cu folie (de preferință cu ziare). Colorează cu grijă icosaedrul cu patru culori 1, 2, 3, 4, așa cum se arată în fig. smochin. 7. Puteți schimba ordinea - mai întâi colorați baloanele și apoi lipiți-le. În același timp, cercurile minuscule trebuie lăsate nevopsite, astfel încât vopseaua să nu se lipească de vopsea.

Acum, cea mai dificilă sarcină (mai precis, întreaga lor secvență).

Alocare 6 (Mai specific, tema generală). Trasează icosaedrul ca un tetraedru și un octaedru Orez. 2 și 3 Aceasta înseamnă că ar trebui să existe patru bile pe fiecare margine. În această variantă, sarcina este atât consumatoare de timp, cât și chiar costisitoare. Să începem prin a afla de câte bile aveți nevoie. Fiecare față are zece sfere, deci icosaedrul are nevoie de două sute? Nu! Trebuie să ne amintim că multe mingi sunt împărțite. Câte muchii are un icosaedru? Poate fi calculat cu minuțiozitate, dar pentru ce este formula lui Euler?

w–k+s=2

unde w, k, s sunt numărul de vârfuri, muchii și, respectiv, fețe. Ne amintim că w = 12, s = 20, ceea ce înseamnă k = 30. Avem 30 de muchii ale icosaedrului. O poți face altfel, pentru că dacă sunt 20 de triunghiuri, atunci au doar 60 de muchii, dar două dintre ele sunt comune.

Să calculăm de câte bile aveți nevoie. În fiecare triunghi există o singură minge internă - nici în vârful corpului nostru, nici pe margine. Astfel, avem în total 20 de astfel de bile. Sunt 12 vârfuri. Fiecare margine are două bile fără vârf (sunt în interiorul marginii, dar nu în interiorul feței). Deoarece există 30 de margini, sunt 60 de bilele, dar două dintre ele sunt comune, ceea ce înseamnă că aveți nevoie doar de 30 de bilele, deci aveți nevoie de un total de 20 + 12 + 30 = 62 de bilele. Mingile pot fi cumpărate cu cel puțin 50 de bănuți (de obicei mai scumpe). Dacă adaugi costul lipiciului, va ieși... mult. O bună legătură necesită câteva ore de muncă minuțioasă. Împreună sunt potrivite pentru o distracție relaxantă – le recomand în loc, de exemplu, să se uite la televizor.

Retragere 1. În seria de film a lui Andrzej Wajda Ani, zile, doi bărbați joacă șah „pentru că trebuie să treacă cumva timpul până la cină”. Are loc în Cracovia din Galicia. Într-adevăr: s-au citit deja ziare (atunci aveau 4 pagini), încă nu s-au inventat televizorul și telefonul, nu sunt meciuri de fotbal. Plictiseală în bălți. Într-o astfel de situație, oamenii au venit cu divertisment pentru ei înșiși. Astăzi le avem după apăsarea telecomenzii...

Retragere 2. La întâlnirea din 2019 a Asociației Profesorilor de Matematică, un profesor spaniol a demonstrat un program de calculator care poate picta pereții solidi în orice culoare. A fost puțin înfiorător, pentru că au desenat doar mâinile, aproape că au tăiat corpul. M-am gândit în sinea mea: cât de mult te distrați dintr-o astfel de „umbrire”? Totul durează două minute, iar până în al patrulea nu ne amintim nimic. Între timp, „lucrarea cu ac” de modă veche calmează și educă. Cine nu crede, lasă-l să încerce.

Să ne întoarcem la secolul al XNUMX-lea și la realitățile noastre. Dacă nu dorim relaxare sub formă de lipire a bilelor consumatoare de timp, atunci vom desena cel puțin o grilă de icosaedru, ale cărui margini au patru bile. Cum să o facă? Tăiați-o bine fig. 6. Cititorul atent ghicește deja problema:

Sarcina 7. Este posibil să enumerați bilele cu numere de la 0 la 9 astfel încât toate aceste numere să apară pe fiecare față a unui astfel de icosaedru?

Pentru ce suntem plătiți?

Astăzi ne punem adesea întrebarea cu privire la scopul activităților noastre, iar „contribuabilul gri” se va întreba de ce ar trebui să plătească matematicieni pentru a rezolva astfel de puzzle-uri?

Răspunsul este destul de simplu. Astfel de „puzzle-uri”, interesante în sine, sunt „un fragment din ceva mai serios”. La urma urmei, paradele militare sunt doar o parte externă, spectaculoasă, a unui serviciu dificil. Voi da doar un exemplu, dar voi începe cu o materie de matematică ciudată, dar recunoscută la nivel internațional. În 1852, un student englez l-a întrebat pe profesorul său dacă este posibil să coloreze o hartă cu patru culori, astfel încât țările vecine să fie întotdeauna afișate în culori diferite? Permiteți-mi să adaug că nu îi considerăm „vecini” pe cei care se întâlnesc doar la un moment dat, precum statele Wyoming și Utah din SUA. Profesorul nu știa... și problema aștepta o soluție de peste o sută de ani.

8. Icosaedru din blocurile RECO. Reflectoarele bliț arată ce are icosaedrul în comun cu triunghiul și pentagonul. Cinci triunghiuri converg la fiecare vârf.

S-a întâmplat într-un mod neașteptat. În 1976, un grup de matematicieni americani a scris un program pentru a rezolva această problemă (și au decis: da, patru culori vor fi întotdeauna suficiente). Aceasta a fost prima dovadă a unui fapt matematic obținut cu ajutorul unei „mașini matematice” – așa cum se numea computerul în urmă cu jumătate de secol (și chiar mai devreme: „creier electronic”).

Iată o „hartă a Europei” prezentată special (smochin. 9). Acele țări care au o frontieră comună sunt conectate. Colorarea hărții este la fel cu colorarea cercurilor acestui grafic (numit grafic), astfel încât niciun cerc conectat să nu aibă aceeași culoare. O privire la Liechtenstein, Belgia, Franța și Germania arată că trei culori nu sunt suficiente. Dacă vrei, Cititorule, colorează-l cu patru culori.

9. Cine se învecinează cu cine în Europa?

Ei bine, da, dar merită banii contribuabililor? Deci, să privim același grafic puțin diferit. Uită că există state și granițe. Lăsați cercurile să simbolizeze pachetele de informații care trebuie trimise dintr-un punct în altul (de exemplu, de la P la EST), iar segmentele reprezintă posibile conexiuni, fiecare dintre ele având propria lățime de bandă. Trimiteți cât mai curând posibil?

În primul rând, să privim o situație foarte simplificată, dar și foarte interesantă din punct de vedere matematic. Trebuie să trimitem ceva din punctul S (= ca început) în punctul M (= sfârșit) folosind o rețea de conexiune cu aceeași lățime de bandă, să zicem 1. Vedem asta în smochin. 10.

10. Rețea de conexiuni de la Statsyika Zdrój la Megapolis.

Să ne imaginăm că aproximativ 89 de biți de informații trebuie să fie trimiși de la S la M. Autorului acestor cuvinte îi plac problemele legate de trenuri, așa că își imaginează că este manager la Stacie Zdrój, de unde trebuie să trimită 144 de vagoane. spre stația metropolis. De ce exact 144? Pentru că, după cum vom vedea, aceasta va fi folosită pentru a calcula debitul întregii rețele. Capacitatea este de 1 în fiecare lot, adică o mașină poate trece pe unitatea de timp (un bit de informație, eventual și Gigabyte).

Să ne asigurăm că toate mașinile se întâlnesc în același timp în M. Toată lumea ajunge acolo în 89 de unități de timp. Dacă am de trimis un pachet de informații foarte important de la S la M, îl împart în grupuri de 144 de unități și îl împing ca mai sus. Matematica garantează că acesta va fi cel mai rapid. De unde am știut că ai nevoie de 89? De fapt, am ghicit, dar dacă nu aș ghici, ar trebui să-mi dau seama Ecuații Kirchhoff (își amintește cineva? - acestea sunt ecuații care descriu fluxul de curent). Lățimea de bandă a rețelei este 184/89, care este aproximativ egală cu 1,62.

Despre bucurie

Apropo, îmi place numărul 144. Îmi plăcea să merg cu autobuzul cu acest număr până în Piața Castelului din Varșovia - când lângă el nu era nici un Castel Regal restaurat. Poate că tinerii cititori știu ce sunt o duzină. Adică 12 exemplare, dar doar cititorii mai în vârstă își amintesc că o duzină, adică. 122=144, acesta este așa-numitul lot. Și toți cei care știu matematică puțin mai mult decât programa școlară vor înțelege imediat asta smochin. 10 avem numere Fibonacci și că lățimea de bandă a rețelei este aproape de „numărul de aur”

În șirul lui Fibonacci, 144 este singurul număr care este un pătrat perfect. O sută patruzeci și patru este, de asemenea, un „număr vesel”. Așa este un matematician amator indian Dattatreya Ramachandra Caprecar în 1955, el a numit numerele care sunt divizibile cu suma cifrelor lor constitutive:

Dacă ar fi știut Adam Mickiewicz, cu siguranță ar fi scris nu în Dzyady: „De la o mamă ciudată; sângele lui este vechii lui eroi / Și numele lui este patruzeci și patru, numai mai elegant: Și numele lui este o sută patruzeci și patru.

Luați în serios divertismentul

Sper că am convins cititorii că puzzle-urile Sudoku sunt partea distractivă a întrebărilor care cu siguranță merită să fie luate în serios. Nu pot dezvolta acest subiect mai departe. Oh, calculul complet al lățimii de bandă a rețelei din diagrama furnizată mai jos smochin. 9 scrierea unui sistem de ecuații ar dura două sau mai multe ore - poate chiar zeci de secunde (!) de lucru pe calculator.