Pătrate colorate și eclipse de soare

Articolul descrie cursurile mele pentru elevii de gimnaziu – bursieri ai Fondului Național pentru Copii. Fundația caută copii și tineri deosebit de dotați (de la clasa a XNUMX-a de școală primară până la liceu) și oferă „burse” elevilor selectați. Cu toate acestea, ele nu constau deloc în retragerea de numerar, ci în îngrijirea cuprinzătoare pentru dezvoltarea talentului, de regulă, pe parcursul multor ani. Spre deosebire de multe alte proiecte de acest tip, oameni de știință cunoscuți, personalități culturale, umaniști de seamă și alți oameni înțelepți, precum și unii politicieni, iau în serios secțiile Fundației.

Activitățile Fundației se extind la toate disciplinele care sunt discipline școlare de bază, cu excepția sportului, inclusiv art. Fondul a fost creat în 1983 ca un antidot la realitatea de atunci. Oricine poate aplica la fond (de obicei printr-o școală, de preferință înainte de sfârșitul anului școlar), dar, desigur, există o anumită sită, o anumită procedură de calificare.

După cum am menționat deja, articolul se bazează pe cursurile mele de master, mai precis la Gdynia, în martie 2016, la liceul 24 la liceul III. Marinei. De mulți ani, aceste seminarii sunt organizate sub auspiciile Fundației de către Wojciech Thomalczyk, un profesor de o carismă extraordinară și un nivel intelectual înalt. În 2008, a intrat în top zece din Polonia, cărora li s-a acordat titlul de profesor de pedagogie (prevăzut de lege în urmă cu mulți ani). Există o ușoară exagerare în afirmația: „Educația este axa lumii”.

si luna sunt întotdeauna fascinante - atunci poți simți că trăim pe o planetă minusculă într-un spațiu imens, unde totul este în mișcare, măsurat în centimetri și secunde. Chiar mă sperie puțin, și perspectiva temporală. Aflăm că următoarea eclipsă totală, vizibilă din zona Varșoviei de astăzi, va avea loc în... 2681. Mă întreb cine îl va vedea? Dimensiunile aparente ale Soarelui și ale Lunii pe cerul nostru sunt aproape aceleași - de aceea eclipsele sunt atât de scurte și atât de spectaculoase. Timp de secole, acele minute scurte ar trebui să fie suficiente pentru ca astronomii să vadă corona solară. E ciudat că se întâmplă de două ori pe an... dar asta înseamnă doar că undeva pe Pământ pot fi văzuți pentru o perioadă scurtă de timp. Ca urmare a mișcărilor mareelor, Luna se îndepărtează de Pământ - în 260 de milioane de ani va fi atât de departe încât noi (noi???) vom vedea doar eclipse inelare.

Aparent primul care a prezis eclipsa, a fost Thales din Milet (secolele 28-585 î.Hr.). Probabil că nu vom ști dacă s-a întâmplat într-adevăr, adică dacă a prezis-o, deoarece faptul că eclipsa din Asia Mică a avut loc în mai 567, 566 î.Hr. este un fapt confirmat de calculele moderne. Desigur, citez date pentru relatarea de astăzi a timpului. Când eram copil, îmi imaginam cum numărau oamenii anii. Deci acesta este, de exemplu, XNUMX ani î.Hr., vine Revelionul și oamenii se bucură: doar XNUMX ani î.Hr.! Cât de fericiți trebuie să fi fost când „era noastră” a sosit în sfârșit! Ce schimbare de milenii am trăit acum câțiva ani!

Matematica calculării datelor și intervalelor eclipsele, nu este deosebit de complicată, dar este plină de tot felul de factori asociați cu regularitatea și, chiar mai rău, cu mișcarea neuniformă a corpului în orbite. Chiar mi-ar plăcea să știu această matematică. Cum a putut Thales din Milet să facă calculele necesare? Răspunsul este simplu. Trebuie să ai o hartă a cerului. Cum se face o astfel de hartă? Nici acest lucru nu este dificil, vechii egipteni știau să o facă. La miezul nopții, doi preoți ies pe acoperișul templului. Fiecare dintre ei se așează și desenează ceea ce vede (ca și colegul său). După două mii de ani, știm totul despre mișcarea planetelor...

Geometrie frumoasă sau distracție pe „covor”

Grecilor nu le plăceau numerele, recurgeau la geometrie. Asta vom face. Al nostru eclipsa vor fi simple, colorate, dar la fel de interesante și reale. Acceptăm convenția că figura albastră se mișcă în așa fel încât să o eclipseze pe cea roșie. Să numim figura albastră lună, iar figura roșie soare. Ne punem următoarele întrebări:

1. cât durează o eclipsă;
2. când jumătate din țintă este acoperită;

   Orez. 1 „Covor” multicolor cu soare și lună

3. care este acoperirea maximă;
4. este posibil să se analizeze dependența acoperirii scutului la timp? În acest articol (sunt limitat de cantitatea de text) mă voi concentra pe a doua întrebare. În spatele acesteia se află o geometrie frumoasă, poate fără calcule plictisitoare. Să ne uităm la fig. 1. Se poate presupune că va fi asociat cu... o eclipsă de soare?

Trebuie să spun sincer că sarcinile pe care le voi discuta vor fi special selectate, adaptate cunoştinţelor şi aptitudinilor elevilor de gimnaziu şi liceu. Dar ne antrenăm pentru sarcini precum muzicienii cântă cântare, iar sportivii fac exerciții generale de dezvoltare. De altfel, nu este doar un covor frumos (fig. 1)?

Orez. 2 Luna „Albastru” și Soarele „Roșu”.

Corpurile noastre cerești, cel puțin inițial, vor fi pătrate colorate. Luna este albastră, soarele este roșu (cel mai bine pentru colorare). cu prezentul eclipsa Luna urmărește soarele pe cer, îl prinde din urmă... și îl închide. La noi va fi la fel. Cel mai simplu caz, când Luna se mișcă în raport cu Soarele, așa cum se arată în Fig. 2. O eclipsă începe atunci când marginea discului Lunii atinge marginea discului Soarelui (Fig. 2) și se termină când trece dincolo de aceasta.

Orez. 3 Luna se apropie de soare în diagonală

Presupunem că „Luna” mișcă o celulă pe unitatea de timp, de exemplu, pe minut. Eclipsa durează apoi opt unități de timp, să zicem minute. Jumătate eclipsele de soare complet estompat Jumătatea cadranului se închide de două ori: după 2 și 6 minute. Graficul de obturare procentuală este simplu. În primele două minute, scutul se închide uniform cu o rată de la zero la 1, în următoarele două minute este expus la aceeași rată.

Iată un exemplu mai interesant (Fig. 3). Luna se apropie de soare în diagonală. Conform acordului nostru de plată pe minut, eclipsa durează 8√2 minute - la mijlocul acestui timp avem o eclipsă totală. Să calculăm ce parte a soarelui este acoperită după timpul t (Fig. 3). Dacă au trecut t minute de la începutul eclipsei și, ca rezultat, Luna este așa cum se arată în Fig. 5, atunci (atenție!) Prin urmare, este acoperit (aria pătratului APQR), egal cu jumătate din discul solar; prin urmare, a fost acoperit atunci când, i.e. după 4 minute (apoi cu 4 minute înainte de sfârșitul eclipsei).

Orez. 4 Graficul funcției „umbrire”.

Totalitate durează un moment (t = 4√2), iar graficul funcției „parte umbrită” este format din două arce de parabole (Fig. 4).

Luna noastră albastră va atinge colțul cu soarele roșu, dar îl va acoperi, mergând nu în diagonală, ci ușor în diagonală.Apare o geometrie interesantă când complicăm puțin mișcarea (Fig. 6). Direcția de mișcare este acum vector [4,3], adică „patru celule la dreapta, trei celule în sus”. Poziția Soarelui este de așa natură încât eclipsa începe (poziția A) când laturile „corpurilor cerești” converg la un sfert din lungimea lor. Când Luna se mută în poziția B, va eclipsa o șesime din Soare, iar în poziția C va eclipsa jumătate. În poziția D, avem o eclipsă totală, iar apoi totul se întoarce, „cum era”.

Orez. 5 O parte a Soarelui ascunsă în timpul t

Eclipsa se termină când Luna se află în poziţia G. A durat cât lungimea secțiunii AG. Dacă, ca și înainte, luăm ca unitate de timp timpul în care Luna trece „un pătrat”, atunci lungimea AG este egală. Dacă ne-am întoarce la vechea convenție conform căreia corpurile noastre cerești sunt 4 cu 4, rezultatul ar fi diferit (ce?). După cum este ușor de arătat, ținta se închide după t < 15. Graficul funcției „procent de acoperire a ecranului” poate fi văzut în fig. 6.

Orez. 6 Graficul funcției „procent de protecție”.

Ecuația eclipsei și săriturii

Orez. 7 Obstrucția discului solar în timpul eclipsei prezentate în fig. 6

Problema eclipselor ar fi incompletă dacă nu am lua în considerare cazul cercurilor. Acest lucru este mult mai complicat, dar să încercăm să ne dăm seama când un cerc eclipsează jumătate din celălalt - și, în cel mai simplu caz, când unul dintre ei se mișcă de-a lungul diametrului care îi leagă pe amândouă. Desenul este familiar deținătorilor unui card de credit.

Calcularea poziției câmpurilor este complicată, deoarece necesită, în primul rând, cunoașterea formulei pentru aria unui segment circular, în al doilea rând, cunoașterea arcului unghiului și, în al treilea rând (și cel mai rău dintre toate), capacitatea pentru a rezolva o anumită ecuație de salt. Nu voi explica ce este o „ecuație tranzitivă”, să ne uităm la un exemplu (Fig. 8).

Orez. 8 Eclipsă „sferică”.

O secțiune circulară este „cupa” care rămâne după tăierea unui cerc cu linie dreaptă. Aria unui astfel de segment este S = 1/2r²(φ-sinφ), unde r este raza cercului, iar φ este unghiul central pe care se sprijină segmentul (Fig. 8). Acest lucru este ușor de obținut prin scăderea aria triunghiului din aria sectorului circular.

Episodul O₁O₂ (distanța dintre centrele cercurilor) este atunci egală cu 2rcosφ/2, iar înălțimea (lățimea, „linia taliei”) h = 2rsinφ/2. Deci, dacă vrem să calculăm când Luna va acoperi jumătate din discul solar, trebuie să rezolvăm ecuația: care, după simplificare, devine:

Orez. 9 Grafice a două funcții

Rezolvarea unor astfel de ecuații depășește simpla algebră - ecuația conține atât unghiuri, cât și funcțiile lor trigonometrice. Ecuația este dincolo de accesul metodelor tradiționale. De aceea se numește a sari. Să ne uităm mai întâi la graficele ambelor funcții, adică funcții și funcții.Putem citi o soluție aproximativă din această figură. Cu toate acestea, putem obține o aproximare iterativă sau... folosim opțiunea Solver din foaia de calcul Excel. Fiecare elev de liceu ar trebui să poată face asta, pentru că este secolul XX. Am folosit un instrument Mathematica mai sofisticat și iată soluția noastră cu 20 zecimale de precizie inutilă:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Orez. 10 Animație de eclipsă în matematică

Transformăm acest lucru în grade înmulțind cu 180/π. Obținem 132 de grade, 20 de minute, 45 și un sfert de secundă de arc. Calculăm că distanța până la centrul cercului este O₁O₂ = 0,808 rază și „talie” 2,310.