Cărări geometrice și desișuri

În timp ce scriam acest articol, mi-am amintit de o melodie foarte veche a lui Jan Pietrzak, pe care a cântat-o ​​înaintea activității sale satirice în cabaretul Pod Egidą, recunoscut în Republica Populară Polonă ca supapă de siguranță; s-ar putea râde sincer de paradoxurile sistemului. În acest cântec, autorul a recomandat participarea politică socialistă, ridiculizându-i pe cei care vor să fie apolitici și oprind radioul din ziar. „Este mai bine să te întorci la școală citind”, a cântat ironic Petshak, în vârstă de XNUMX ani.

Mă întorc la școală citind. Recitesc (nu pentru prima dată) cartea lui Shchepan Yelensky (1881-1949) „Lylavati”. Pentru puțini cititori, cuvântul în sine spune ceva. Acesta este numele fiicei celebrului matematician hindus cunoscut sub numele de Bhaskara (1114-1185), pe nume Akaria, sau înțeleptul care și-a intitulat cartea de algebră cu acest nume. Lilavati a devenit ea însăși un matematician și filozof renumit. Potrivit altor surse, ea a fost cea care a scris ea însăși cartea.

Szczepan Yelensky a dat același titlu cărții sale despre matematică (prima ediție, 1926). Poate fi chiar dificil să numim această carte o lucrare matematică - a fost mai degrabă un set de puzzle-uri și în mare parte rescrisă din surse franceze (drepturile de autor în sensul modern nu existau). În orice caz, timp de mulți ani, a fost singura carte populară poloneză despre matematică - mai târziu a fost adăugată a doua carte a lui Jelensky, Dulciurile lui Pitagora. Așa că tinerii interesați de matematică (care este exact ceea ce am fost cândva) nu aveau de unde alege...

pe de altă parte, „Lilavati” trebuia cunoscut aproape pe de rost... Ah, au fost vremuri... Cel mai mare avantaj al lor era că eram... adolescent atunci. Astăzi, din punctul de vedere al unui matematician bine educat, mă uit la Lilavati într-un mod cu totul diferit - poate ca un alpinist pe curbele potecii către Shpiglasova Pshelench. Nici unul, nici celălalt nu își pierde farmecul ... În stilul său caracteristic, Shchepan Yelensky, care profesează așa-numitele idei naționale în viața sa personală, el scrie în prefață:

Fără să ating descrierea caracteristicilor naționale, voi spune că nici după nouăzeci de ani, cuvintele lui Yelensky despre matematică nu și-au pierdut relevanța. Matematica te învață să gândești. Este un fapt. Vă putem învăța să gândiți diferit, mai simplu și mai frumos? Pot fi. Doar că... încă nu putem. Le explic elevilor mei care nu vor să facă matematică că acesta este și un test al inteligenței lor. Dacă nu poți învăța o teorie matematică cu adevărat simplă, atunci... poate abilitățile tale mentale sunt mai rele decât ne-am dori amândoi...?

Semne în nisip

Și iată prima poveste din „Lylavati” – o poveste descrisă de filozoful francez Joseph de Maistre (1753-1821).

Un marinar dintr-o navă naufragiată a fost aruncat de valuri pe un țărm gol, pe care îl considera nelocuit. Deodată, în nisipul de coastă, a văzut o urmă a unei figuri geometrice desenată în fața cuiva. Atunci și-a dat seama că insula nu este pustie!

Citându-l pe Mestri, Yelensky scrie: figura geometricăar fi fost o expresie mută pentru nefericitul, naufragiat, coincidență, dar el i-a arătat dintr-o privire proporție și număr, iar asta anunța un om luminat. Atât pentru istorie.

Rețineți că un marinar va provoca aceeași reacție, de exemplu, desenând litera K, ... și orice alte urme ale prezenței unei persoane. Aici geometria este idealizată.

Cu toate acestea, astronomul Camille Flammarion (1847-1925) a propus ca civilizațiile să se întâmpine de la distanță folosind geometria. El a văzut în aceasta singura încercare corectă și posibilă de comunicare. Să le arătăm unor astfel de marțieni triunghiurile pitagoreice... ei ne vor răspunde cu Thales, noi le vom răspunde cu modele Vieta, cercul lor se va potrivi într-un triunghi, așa că a început o prietenie...

La această idee au revenit scriitori precum Jules Verne și Stanislav Lem. Și în 1972, la bordul sondei Pioneer au fost amplasate plăci cu modele geometrice (și nu numai), care încă traversează întinderile spațiului, acum aproape 140 de unități astronomice de noi (1 I este distanța medie a Pământului față de Pământ) . Soare, adică aproximativ 149 milioane km). Placa a fost proiectată, parțial, de astronomul Frank Drake, creatorul controversatei reguli privind numărul civilizațiilor extraterestre.

Geometria este uimitoare. Cu toții cunoaștem punctul de vedere general asupra originii acestei științe. Noi (noi oamenii) tocmai am început să măsurăm pământul (și mai târziu pământul) pentru scopurile cele mai utilitare. Determinarea distanțelor, trasarea de linii drepte, marcarea unghiurilor drepte și calcularea volumelor a devenit treptat o necesitate. De aici toată treaba geometrie („Măsurarea pământului”), de aici toată matematica...

Cu toate acestea, de ceva timp această imagine clară a istoriei științei ne-a întunecat. Căci dacă matematica ar fi necesară numai în scopuri operaționale, nu am fi implicați în demonstrarea teoremelor simple. „Vedeți că acest lucru ar trebui să fie adevărat”, ar spune cineva după ce a verificat că în mai multe triunghiuri dreptunghic suma pătratelor ipotenuzelor este egală cu pătratul ipotenuzei. De ce un asemenea formalism?

Plăcinta cu prune trebuie să fie delicioasă, programul de calculator trebuie să funcționeze, mașina trebuie să funcționeze. Dacă am numărat capacitatea butoiului de treizeci de ori și totul este în ordine, atunci de ce altceva?

Între timp, grecilor antici le-a trecut prin minte că trebuiau găsite dovezi formale.

Deci, matematica începe cu Thales (625-547 î.Hr.). Se presupune că Milet a fost cel care a început să se întrebe de ce. Pentru oamenii deștepți nu este suficient să fi văzut ceva, să fie convinși de ceva. Ei au văzut nevoia unei dovezi, o succesiune logică de argumente de la presupunere la teză.

Și ei doreau mai mult. Probabil Thales a fost cel care a încercat primul să explice fenomenele fizice într-un mod naturalist, fără intervenția divină. Filosofia europeană a început cu filosofia naturii - cu ceea ce este deja în spatele fizicii (de unde și numele: metafizica). Dar bazele ontologiei europene și ale filosofiei naturale au fost puse de pitagoreeni (Pythagoras, c. 580-c. 500 î.Hr.).

Și-a fondat propria școală în Crotone, în sudul Peninsulei Apenine - astăzi am numi-o sectă. Știința (în sensul actual al cuvântului), misticismul, religia și fantezia sunt toate strâns legate între ele. Thomas Mann a prezentat foarte frumos lecțiile de matematică într-un gimnaziu german în romanul Doctor Faustus. Tradus de Maria Kuretskaya și Witold Virpsha, acest fragment sună:

În cartea interesantă a lui Charles van Doren, The History of Kwledge from the Dawn of History to the Present Day, am găsit un punct de vedere foarte interesant. Într-unul dintre capitole, autorul descrie semnificația școlii pitagoreice. M-a frapat chiar titlul capitolului. Se citește: „Invenția matematicii: pitagoreicii”.

Discutăm adesea dacă teoriile matematice sunt descoperite (de exemplu, terenuri necunoscute) sau inventate (de exemplu, mașini care nu existau înainte). Unii matematicieni creativi se văd ca cercetători, alții ca inventatori sau designeri, mai rar contracători.

Dar autorul acestei cărți scrie despre invenția matematicii în general.

De la exagerare la iluzie

După această lungă parte introductivă, voi trece chiar la început. geometriepentru a descrie modul în care o dependență excesivă de geometrie poate induce în eroare un om de știință. Johannes Kepler este cunoscut în fizică și astronomie ca descoperitorul celor trei legi ale mișcării corpurilor cerești. În primul rând, fiecare planetă din sistemul solar se mișcă în jurul Soarelui pe o orbită eliptică, la unul dintre focarele căreia se află Soarele. În al doilea rând, la intervale regulate, raza principală a planetei, extrasă din Soare, desenează câmpuri egale. În al treilea rând, raportul dintre pătratul perioadei de revoluție a unei planete în jurul Soarelui și cubul semi-axei ​​majore a orbitei sale (adică distanța medie de la Soare) este constant pentru toate planetele din sistemul solar.

Poate că aceasta a fost a treia lege - a necesitat o mulțime de date și calcule pentru a o stabili, ceea ce l-a determinat pe Kepler să continue să caute modele în mișcarea și poziția planetelor. Istoria noii sale „descoperiri” este foarte instructivă. Încă din antichitate, am admirat nu numai poliedre regulate, ci și argumente care arată că există doar cinci dintre ele în spațiu. Un poliedru tridimensional se numește regulat dacă fețele sale sunt poligoane regulate identice și fiecare vârf are același număr de muchii. În mod ilustrativ, fiecare colț al unui poliedru obișnuit ar trebui să „arate la fel”. Cel mai cunoscut poliedru este cubul. Toată lumea a văzut o gleznă obișnuită.

Tetraedrul regulat este mai puțin cunoscut, iar în școală se numește piramidă triunghiulară regulată. Arată ca o piramidă. Celelalte trei poliedre regulate sunt mai puțin cunoscute. Un octaedru se formează atunci când conectăm centrele muchiilor unui cub. Dodecaedrul și icosaedrul arată deja ca niște bile. Fabricate din piele moale, ar fi confortabil de săpat. Raționamentul că nu există poliedre regulate în afară de cele cinci solide platonice este foarte bun. În primul rând, ne dăm seama că dacă corpul este regulat, atunci același număr (fie q) de poligoane regulate identice trebuie să convergă la fiecare vârf, fie acestea să fie unghiuri p. Acum trebuie să ne amintim care este unghiul într-un poligon obișnuit. Dacă cineva nu își amintește de la școală, îți reamintim cum să găsești modelul potrivit. Am făcut o excursie după colț. La fiecare vârf ne întoarcem prin același unghi a. Când ocolim poligonul și revenim la punctul de plecare, am făcut p astfel de întoarceri și în total am întors 360 de grade.

Dar α este complementul de 180 de grade a unghiului pe care vrem să-l calculăm și, prin urmare, este

Am găsit formula pentru unghiul (un matematician ar spune: măsurile unui unghi) unui poligon regulat. Să verificăm: în triunghiul p = 3, nu există a

Asa. Când p = 4 (pătrat), atunci

grade e bine.

Ce primim pentru un pentagon? Deci, ce se întâmplă când există q poligoane, fiecare p având aceleași unghiuri

 grade coborând la un vârf? Dacă ar fi pe un plan, atunci s-ar forma un unghi

grade și nu poate fi mai mare de 360 ​​de grade - pentru că atunci poligoanele se suprapun.

Cu toate acestea, deoarece aceste poligoane se întâlnesc în spațiu, unghiul trebuie să fie mai mic decât unghiul complet.

Și iată inegalitatea din care rezultă totul:

Împărțiți-l la 180, înmulțiți ambele părți cu p, ordinea (p-2) (q-2) < 4. Ce urmează? Să fim conștienți că p și q trebuie să fie numere naturale și că p > 2 (de ce? Și ce este p?) și, de asemenea, q > 2. Nu există multe modalități de a face produsul a două numere naturale mai mici decât 4. le voi enumera pe toate în tabelul 1.

Nu postez desene, toată lumea poate vedea aceste cifre pe Internet... Pe Internet... Nu voi refuza o digresiune lirică - poate că este interesant pentru tinerii cititori. În 1970 am vorbit la un seminar. Subiectul a fost dificil. Am avut puțin timp să mă pregătesc, stăteam seara. Articolul principal era doar pentru citire. Locul era confortabil, cu o atmosferă de lucru, ei bine, se închise la șapte. Atunci însăși mireasa (acum soția mea) s-a oferit să rescrie întregul articol pentru mine: vreo duzină de pagini tipărite. L-am copiat (nu, nu cu pix, chiar aveam pixuri), prelegerea a fost un succes. Astăzi am încercat să găsesc această publicație, care este deja veche. Îmi amintesc doar numele autorului... Căutările pe Internet au durat mult... cincisprezece minute întregi. Mă gândesc la asta cu un zâmbet și un mic regret nejustificat.

Ne întoarcem la Kepler și geometria. Aparent, Platon a prezis existența celei de-a cincea forme regulate pentru că îi lipsea ceva unificator, care să acopere întreaga lume. Poate de aceea a instruit un student (Theajtet) să o caute. Așa cum a fost, așa a fost, pe baza căruia a fost descoperit dodecaedrul. Numim această atitudine a lui Platon panteism. Toți oamenii de știință, până la Newton, au cedat într-o măsură mai mare sau mai mică. Începând cu secolul al XVIII-lea extrem de rațional, influența sa s-a diminuat drastic, deși nu ar trebui să ne fie rușine de faptul că toți cedem în fața lui într-un fel sau altul.

În conceptul lui Kepler de a construi sistemul solar, totul era corect, datele experimentale coincideau cu teoria, teoria era coerentă din punct de vedere logic, foarte frumoasă... dar complet falsă. Pe vremea lui, erau cunoscute doar șase planete: Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter și Saturn. De ce sunt doar șase planete? întrebă Kepler. Și ce regularitate determină distanța lor față de Soare? El a presupus că totul era legat, că geometrie și cosmogonie sunt strâns legate între ele. Din scrierile grecilor antici, el știa că există doar cinci poliedre regulate. El a văzut că erau cinci goluri între cele șase orbite. Deci, poate fiecare dintre aceste spații libere corespunde unui poliedru regulat?

După câțiva ani de observații și lucrări teoretice, a creat următoarea teorie, cu ajutorul căreia a calculat destul de precis dimensiunile orbitelor, pe care a prezentat-o ​​în cartea „Mysterium Cosmographicum”, publicată în 1596: Imaginează-ți o sferă gigantică, al cărui diametru este diametrul orbitei lui Mercur în mișcarea sa anuală în jurul soarelui. Apoi imaginați-vă că pe această sferă există un octaedru regulat, pe ea o sferă, pe ea un icosaedru, pe ea din nou o sferă, pe ea un dodecaedru, pe ea o altă sferă, pe ea un tetraedru, apoi din nou o sferă, un cub. și, în final, pe acest cub este descrisă mingea.

Kepler a concluzionat că diametrele acestor sfere succesive erau diametrele orbitelor altor planete: Mercur, Venus, Pământ, Marte, Jupiter și Saturn. Teoria părea a fi foarte exactă. Din păcate, acest lucru a coincis cu datele experimentale. Și ce dovadă mai bună a corectitudinii unei teorii matematice decât corespondența acesteia cu datele experimentale sau cu datele observaționale, în special „luate din rai”? Rezum aceste calcule în tabelul 2. Deci, ce a făcut Kepler? Am încercat și am încercat până a ieșit, adică când configurația (ordinea sferelor) și calculele rezultate au coincis cu datele observaționale. Iată cifrele și calculele Kepler moderne:

Se poate ceda fascinației teoriei și crede că măsurătorile pe cer sunt inexacte, și nu calculele făcute în tăcerea atelierului. Din păcate, astăzi știm că există cel puțin nouă planete și că toate coincidențele rezultatelor sunt doar o coincidență. Pacat. A fost atât de frumos...