Lem, Tokarchuk, Cracovia, matematică

În perioada 3-7 septembrie 2019 a avut loc la Cracovia congresul aniversar al Societății Poloneze de Matematică. Aniversare, pentru că se împlinesc centenarul înființării Societății. A existat în Galiția din anii I (fără adjectivul că liberalismul polonez al împăratului FJ1 își avea limitele), dar ca organizație la nivel național a funcționat abia din 1919. Progresele majore în matematica poloneză datează din anii 1919-1939. XNUMX la Universitatea Jan Casimir din Lviv, dar convenția nu a putut avea loc acolo – și nici nu este cea mai bună idee.

Întâlnirea a fost foarte festivă, plină de evenimente însoțitoare (inclusiv un spectacol de Jacek Wojcicki la castelul din Niepolomice). Prelegerile principale au fost susținute de 28 de vorbitori. Erau în poloneză pentru că invitații erau polonezi - nu neapărat în sensul de cetățenie, ci recunoscându-se ca polonezi. Da, doar treisprezece lectori au venit din instituții științifice poloneze, restul de cincisprezece au venit din SUA (7), Franța (4), Anglia (2), Germania (1) și Canada (1). Ei bine, acesta este un fenomen binecunoscut în ligile de fotbal.

Cei mai buni performează constant în străinătate. E puțin trist, dar libertatea este libertate. Câțiva matematicieni polonezi au făcut carierele în străinătate de neatins în Polonia. Banii joacă aici un rol secundar, dar nu vreau să scriu pe astfel de subiecte. Poate doar două comentarii.

În Rusia, și înainte de asta în Uniunea Sovietică, asta a fost și este la cel mai conștient nivel... și cumva nimeni nu vrea să emigreze acolo. La rândul lor, în Germania, aproximativ o duzină de candidați aplică pentru un post de profesor la orice universitate (colegii de la Universitatea din Konstanz au spus că au avut 120 de cereri într-un an, dintre care 50 foarte bune, iar 20 excelente).

Câteva dintre prelegerile Congresului Jubiliar pot fi rezumate în jurnalul nostru lunar. Titluri precum „Limitele graficelor rare și aplicațiile lor” sau „Structura și geometria liniară a subspațiilor și a spațiilor factoriale pentru spații normalizate de dimensiuni mari” nu vor spune nimic cititorului mediu. Al doilea subiect a fost introdus de prietenul meu de la primele cursuri, Nicole Tomchak.

În urmă cu câțiva ani, ea a fost nominalizată pentru realizarea prezentată în această prelegere. Medalia Fields este echivalentul pentru matematicieni. Până acum, o singură femeie a primit acest premiu. De remarcat este și prelegerea Anna Marcinyak-Chohra (Universitatea Heidelberg) „Rolul modelelor matematice mecaniciste în medicină pe exemplul modelării leucemiei”.

a intrat în medicină. La Universitatea din Varșovia, un grup condus de Prof. Jerzy Tyurin.

Titlul prelegerii va fi de neînțeles pentru Cititori Veslava Niziol (Școala Superioară Pedagogică Z prestiżowej)”-teoria adic a lui Hodge". Cu toate acestea, această prelegere m-am hotărât să discut aici.

Geometrie -lumi adice

Începe cu lucruri mici simple. Îți amintești, Cititorule, metoda schimbului scris? Categoric. Gândește-te la anii fără griji ai școlii elementare. Împărțiți 125051 la 23 (aceasta este acțiunea din stânga). Știți că poate fi diferit (acțiune în dreapta)?

Această nouă metodă este interesantă. merg de la sfarsit. Trebuie să împărțim 125051 la 23. Cu ce ​​trebuie să înmulțim 23, astfel încât ultima cifră să fie 1? Căutați în memorie și aveți :=7. Ultima cifră a rezultatului este 7. Înmulțiți, scădeți, obținem 489. Cum înmulțiți 23 pentru a ajunge la 9? Desigur, cu 3. Ajungem în punctul în care determinăm toate numerele rezultatului. Ni se pare nepractic și mai dificil decât metoda noastră obișnuită - dar este o chestiune de practică!

Lucrurile iau o altă întorsătură când omul curajos nu este complet divizat de divizor. Să facem împărțirea și să vedem ce se întâmplă.

În stânga este o pistă tipică de școală. În dreapta este „ciudații noștri”.

Putem verifica ambele rezultate prin înmulțire. Îl înțelegem pe primul: o treime din numărul 4675 este o mie cinci sute cincizeci și opt și trei în perioada. Al doilea nu are sens: care este acest număr precedat de un număr infinit de șase și apoi 8225?

Să lăsăm pentru o clipă întrebarea sensului. Să ne jucăm. Deci, să împărțim 1 la 3 și apoi 1 la 7, care este o treime și o șapte. Putem obține cu ușurință:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Această ultimă linie înseamnă: blocul 285714 se repetă la infinit la început, iar în final sunt trei. Pentru cei care nu cred, iată un test:

Acum să adăugăm fracții:

Apoi adunăm numerele ciudate primite și obținem (verifică) același număr ciudat.

......95238095238095238095238010

Putem verifica dacă aceasta este egală cu

Esenta este încă de văzut, dar aritmetica este corectă.

Încă un exemplu.

Numărul obișnuit, deși mare, 40081787109376 are o proprietate interesantă: pătratul său se termină și cu 40081787109376. numărul x40081787109376, care este ( x40081787109376)² se termină și cu x40081787109376.

Bacsis. Avem 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, deci următoarea cifră este complementul de la trei la zece, care este 7. Să verificăm: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Întrebarea de ce este așa este una dificilă. Este mai ușor: găsiți terminații similare pentru numerele care se termină cu 5. Continuând procesul de găsire a următoarelor cifre la nesfârșit, vom ajunge la astfel de „numere” care ²=²= (și niciunul dintre aceste numere nu este egal cu zero sau unu).

intelegem bine. Cu cât este mai departe de virgulă zecimală, cu atât numărul este mai puțin important. În calculele de inginerie, prima cifră după virgulă este importantă, precum și a doua, dar în multe cazuri se poate presupune că raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia este de 3,14. Desigur, în industria aviației trebuie incluse mai multe numere, dar nu cred că vor fi mai mult de zece.

Numele a apărut în titlul articolului Stanislav Lem (1921-2006), precum și noul nostru laureat al Nobel. doamnă Olga Tokarchuk Am menționat asta doar pentru că strigând nedreptateCert este că Stanislav Lem nu a primit Premiul Nobel pentru Literatură. Dar nu e în colțul nostru.

Lem prevedea adesea viitorul. Se întreba ce se va întâmpla când vor deveni independenți de oameni. Câte filme pe această temă au apărut în ultima vreme! Lem a prezis și descris destul de exact cititorul optic și farmacologia viitorului.

Știa matematică, deși uneori o trata ca pe un ornament, fără să-i pese de corectitudinea calculelor. De exemplu, în povestea „Trial”, pilotul Pirks intră pe orbita B68 cu o perioadă de rotație de 4 ore și 29 de minute, iar instrucțiunea este de 4 ore și 26 de minute. Își amintește că au calculat cu o eroare de 0,3 la sută. El dă datele Calculatorului, iar calculatorul răspunde că totul este în regulă... Ei bine, nu. Trei zecimi de procent din 266 de minute este mai puțin de un minut. Dar această eroare schimbă ceva? Poate a fost intenționat?

De ce scriu despre asta? Mulți matematicieni au pus și această întrebare: imaginează-ți o comunitate. Ei nu au mintea noastră umană. Pentru noi, 1609,12134 și 1609,23245 sunt numere foarte apropiate - bune aproximări ale milei engleze. Cu toate acestea, computerele pot considera că numerele 468146123456123456 și 9999999123456123456 sunt apropiate. Au aceleași terminații de douăsprezece cifre.

Cu cât sunt mai frecvente cifre la sfârșit, cu atât numerele sunt mai apropiate. Și asta duce la așa-numita distanță -adic. Fie p egal cu 10 pentru un moment; de ce doar „pentru o vreme”, voi explica... acum. Distanța de 10 puncte a numerelor scrise mai sus este 

sau o milioneme - pentru că aceste numere au șase cifre comune la sfârșit. Toate numerele întregi diferă de zero cu unul sau mai puțin. Nici nu voi scrie un șablon pentru că nu contează. Cu cât sunt mai multe numere identice la sfârșit, cu atât numerele sunt mai apropiate (pentru o persoană, dimpotrivă, sunt luate în considerare numerele inițiale). Este important ca p să fie un număr prim.

Apoi - le plac zerourile și unuurile, așa că văd totul în aceste modele: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

În romanul Glos Pana, Stanisław Lem angajează oameni de știință pentru a încerca să citească un mesaj trimis din viața de apoi, codificat zero-unu, desigur. Ne scrie cineva? Lem susține că „orice mesaj poate fi citit dacă este un mesaj că cineva a vrut să ne spună ceva”. Dar este? Voi lăsa cititorii cu această dilemă.

Trăim în spațiu XNUMXD R³. Scrisoare R reamintește că axele constau din numere reale, adică numere întregi, negative și pozitive, zero, raționale (adică fracții) și iraționale, pe care cititorii le-au întâlnit la școală (), și numere cunoscute sub numele de numere transcendentale, inaccesibile în algebră (acesta este numărul π). , care leagă diametrul unui cerc cu circumferința lui de mai bine de două mii de ani).

Dacă axele spațiului nostru ar fi numere -adice?

Jerzy Mioduszowski, un matematician de la Universitatea din Silezia, susține că așa ar putea fi, și chiar că ar putea fi așa. Putem (spune Jerzy Mioduszowski) să ocupăm același loc în spațiu cu astfel de ființe, fără a interveni și fără să ne vedem.

Deci, avem de explorat toată geometria lumii „lor”. Este puțin probabil ca „ei” să gândească la fel despre noi și, de asemenea, să ne studieze geometria, deoarece a noastră este un caz limită pentru toate lumile „lor”. „Ei”, adică toate lumile infernale, unde sunt numere prime. În special, = 2 și această lume fascinantă a zero-unu...

Aici cititorul articolului poate deveni furios și chiar furios. „Este acesta genul de prostii pe care le fac matematicienii?” Ei fantezează să bea vodcă după cină, cu banii mei (=ai contribuabilului). Și împrăștiați-i în patru vânturi, lăsați-i să meargă la ferme de stat... o, nu mai sunt ferme de stat!

Relaxa. au avut întotdeauna o înclinație pentru astfel de glume. Permiteți-mi să menționez doar teorema sandvișului: dacă am un sandviș cu brânză și șuncă, îl pot tăia într-o singură tăietură pentru a înjumătăți chifla, șunca și brânză. Acest lucru este inutil în practică. Ideea este că aceasta este doar o aplicație jucăușă a unei teoreme generale interesante din analiza funcțională.

Cât de grav este să te ocupi cu numerele -adice și cu geometria aferentă? Permiteți-mi să reamintesc cititorului că numerele raționale (simplu: fracții) se află dens pe linie, dar nu o umple îndeaproape.

Numerele iraționale trăiesc în „găuri”. Sunt multe, infinit de ele, dar se poate spune și că infinitul lor este mai mare decât cel al celor mai simple, în care numărăm: unu, doi, trei, patru... și așa mai departe până la ∞. Aceasta este umplerea noastră umană de „găuri”. Am moștenit această structură mentală de la pitagoreice. 

Dar ceea ce este interesant și important pentru un matematician este că nu se poate „umple” aceste găuri cu numere iraționale și p-adice (pentru toate numerele prime p). Pentru acei cititori care înțeleg acest lucru (și acest lucru a fost predat în fiecare liceu în urmă cu treizeci de ani), ideea este că fiecare secvență care satisface starea lui Cauchy, converge.

Un spațiu în care acest lucru este adevărat se numește complet („nimic nu lipsește”). Îmi voi aminti numărul 547721051611007740081787109376.

Secvența 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 și așa mai departe converge către o anumită limită, care este de aproximativ 0,5477210516110077400 81787109376.

Totuși, din punctul de vedere al distanței de 10 adice, șirul numerelor 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 și așa mai departe converge și la numărul „ciudat” ... 547721051 611007740081787109376.

Dar chiar și acesta poate să nu fie un motiv suficient pentru a oferi oamenilor de știință bani publici. În general, noi (matematicienii) ne apărăm spunând că este imposibil să prezicem la ce va fi utilă cercetarea noastră. Este aproape sigur că toată lumea va fi de folos și că doar acțiunea pe un front larg are șanse de succes.

Una dintre cele mai mari invenții, mașina cu raze X, a fost creată după ce radioactivitatea a fost descoperită accidental Bekkerela. Dacă nu ar fi fost acest caz, mulți ani de cercetare ar fi fost probabil inutile. „Căutăm o modalitate de a face o radiografie a corpului uman”.

În sfârșit, cel mai important lucru. Toată lumea este de acord că capacitatea de a rezolva ecuații joacă un rol. Și aici numerele noastre ciudate sunt bine protejate. Teorema corespunzătoare (Îl urăsc pe Minkowski) spune că unele ecuații pot fi rezolvate în numere raționale dacă și numai dacă au rădăcini și rădăcini reale în fiecare corp -adic.

Mai mult sau mai puțin această abordare a fost prezentată Andrew Wiles, care a rezolvat cea mai faimoasă ecuație matematică din ultimii trei sute de ani - recomand cititorilor să o introducă într-un motor de căutare „Ultima teoremă a lui Fermat”.