farmec invers

Se vorbește mult despre „farecul contrariilor”, și nu numai la matematică. Amintiți-vă că numerele opuse sunt cele care diferă doar prin semn: plus 7 și minus 7. Suma numerelor opuse este zero. Dar pentru noi (adică, matematicienii) reciprocele sunt mai interesante. Dacă produsul numerelor este egal cu 1, atunci aceste numere sunt inverse între ele. Fiecare număr are opusul său, fiecare număr diferit de zero are inversul său. Reciprocul reciprocului este sămânța.

Inversarea are loc acolo unde două cantități sunt legate între ele, astfel încât, dacă una crește, cealaltă scade cu o rată corespunzătoare. „Relevant” înseamnă că produsul acestor cantități nu se modifică. Ne amintim de la școală: aceasta este o proporție inversă. Dacă vreau să ajung la destinație de două ori mai repede (adică să reduc timpul la jumătate), trebuie să-mi dublez viteza. Dacă volumul unui vas sigilat cu gaz este redus de n ori, atunci presiunea acestuia va crește de n ori.

În învățământul primar, distingem cu atenție între comparațiile diferențiale și cele relative. „Cât mai mult”? – „De câte ori mai mult?”

Iată câteva activități școlare:

Sarcina 1. Dintre cele două valori pozitive, prima este de 5 ori mai mare decât a doua și în același timp de 5 ori mai mare decât prima. Care sunt dimensiunile?

Sarcina 2. Dacă un număr este cu 3 mai mare decât al doilea, iar al doilea este cu 2 mai mare decât al treilea, cu cât este mai mare primul număr decât al treilea? Dacă primul număr pozitiv este de două ori pe al doilea, iar primul număr este de trei ori pe al treilea, de câte ori este primul număr mai mare decât al treilea?

Sarcina 3. În sarcina 2, sunt permise numai numerele naturale. Este posibil un astfel de aranjament așa cum este descris acolo?

Sarcina 4. Dintre cele două valori pozitive, prima este de 5 ori pe a doua, iar a doua este de 5 ori pe prima. Este posibil?

Conceptul de „medie” sau „medie” pare foarte simplu. Dacă am mers pe bicicletă 55 km luni, 45 km marți și 80 km miercuri, în medie am mers cu bicicleta 60 km pe zi. Suntem din toată inima de acord cu aceste calcule, deși sunt puțin ciudate pentru că nu am condus 60 de km într-o zi. Acceptăm la fel de ușor acțiunile unei persoane: dacă două sute de persoane vizitează un restaurant în decurs de șase zile, atunci rata medie zilnică este de 33 și o treime persoane. HM!

Sunt probleme doar cu dimensiunea medie. Îmi place să merg cu bicicleta. Așa că am profitat de oferta agenției de turism „Hai să mergem cu noi” – ei livrează bagaje la hotel, unde clientul merge cu bicicleta în scop recreativ. Vineri am condus patru ore: primele două cu o viteză de 24 km pe oră. Apoi am obosit atât de mult încât pentru următoarele două la un ritm de doar 16 pe oră. Care a fost viteza mea medie? Desigur (24+16)/2=20km=20km/h.

Sâmbătă, însă, bagajele au fost lăsate la hotel, iar eu m-am dus să văd ruinele castelului, care se află la 24 de km, și după ce le-am văzut, m-am întors. Am condus o oră într-un sens, m-am întors mai încet înapoi, cu o viteză de 16 km pe oră. Care a fost viteza mea medie pe ruta hotel-castel-hotel? 20 km pe ora? Desigur că nu. Până la urmă, am condus în total 48 de km și mi-a luat o oră („acolo”) și o oră și jumătate înapoi. 48 km în două ore și jumătate, adică ora 48/2,5=192/10=19,2 km! În această situație, viteza medie nu este media aritmetică, ci armonica valorilor date:

iar această formulă cu două etaje poate fi citită astfel: media armonică a numerelor pozitive este reciproca mediei aritmetice a reciprocei lor. Reciprocul sumei reciprocelor apare în multe coruri ale temelor școlare: dacă un muncitor sapă ore, celălalt - b ore, atunci, lucrând împreună, sapă la timp. bazin cu apă (unul pe oră, celălalt la b ore). Dacă un rezistor are R1 și celălalt are R2, atunci au o rezistență paralelă. 

Dacă un computer poate rezolva o problemă în câteva secunde, un alt computer în b secunde, atunci când lucrează împreună...

Stop! Aici se termină analogia, pentru că totul depinde de viteza rețelei: eficiența conexiunilor. Lucrătorii se pot împiedica sau ajuta reciproc. Dacă un om poate săpa o fântână în opt ore, optzeci de muncitori o pot face în 1/10 de oră (sau 6 minute)? Dacă șase hamali duc pianul la primul etaj în 6 minute, cât timp îi va lua unuia dintre ei să livreze pianul la etajul șaizeci? Absurditatea unor astfel de probleme ne aduce în minte aplicabilitatea limitată a tuturor matematicii la problemele „din viață”.

Despre un vânzător puternic 

Cantarul nu mai este folosit. Amintiți-vă că pe un vas cu astfel de cântar era pusă o greutate, iar mărfurile cântărite erau așezate pe celălalt, iar când greutatea era în echilibru, atunci mărfurile cântăreau la fel de mult ca greutatea. Desigur, ambele brațe ale greutății trebuie să aibă aceeași lungime, altfel cântărirea va fi incorectă.

Oh corect. Imaginați-vă un agent de vânzări care are o greutate cu un efect de pârghie inegal. Totuși, vrea să fie sincer cu clienții și cântărește marfa în două loturi. În primul rând, pune o greutate pe o tigaie, iar pe cealaltă o cantitate corespunzătoare de mărfuri - astfel încât cântarul să fie în echilibru. Apoi cântărește a doua „jumătate” a mărfurilor în ordine inversă, adică pune greutatea pe al doilea vas, iar marfa pe primul. Deoarece mâinile sunt inegale, „jumătățile” nu sunt niciodată egale. Și conștiința vânzătorului este curată, iar cumpărătorii îi laudă onestitatea: „Ce am scos aici, am adăugat apoi”.

Cu toate acestea, să aruncăm o privire mai atentă asupra comportamentului unui vânzător care vrea să fie sincer în ciuda greutății precare. Fie că brațele balanței au lungimile a și b. Dacă unul dintre boluri este încărcat cu un kilogram de greutate, iar celălalt cu x mărfuri, atunci cântarul este în echilibru dacă ax = b prima dată și bx = a a doua oară. Deci, prima parte a mărfurilor este egală cu b / un kilogram, a doua parte este a / b. Greutatea bună are a = b, deci cumpărătorul va primi 2 kg de marfă. Să vedem ce se întâmplă când a ≠ b. Atunci a – b ≠ 0 și din formula de înmulțire redusă avem

Am ajuns la un rezultat neașteptat: metoda aparent corectă de „mediere” a măsurătorii în acest caz funcționează în beneficiul cumpărătorului, care primește mai multe bunuri.

Alocare 5. (Important, deloc la matematică!). Un țânțar cântărește 2,5 miligrame, iar un elefant cinci tone (acestea sunt date destul de corecte). Calculați media aritmetică, media geometrică și media armonică a maselor (greutăților) de țânțari și elefanți. Verificați calculele și vedeți dacă au vreun sens în afară de exercițiile de aritmetică. Să ne uităm la alte exemple de calcule matematice care nu au sens în „viața reală”. Sfat: Am analizat deja un exemplu în acest articol. Înseamnă asta că un student anonim a cărui părere am găsit-o pe internet a fost corectă: „Matematica prostește oamenii cu cifrele”?

Da, sunt de acord că, în măreția matematicii, puteți „păcăli” oamenii - fiecare a doua reclamă la șampon spune că crește pufosul cu un anumit procent. Să căutăm și alte exemple de instrumente utile de zi cu zi care pot fi folosite pentru activități criminale?

Grame!

Titlul acestui pasaj este un verb (persoana întâi plural), nu un substantiv (nominativ plural de o miime de kilogram). Armonia implică ordine și muzică. Pentru grecii antici, muzica era o ramură a științei – trebuie să recunoaștem că dacă spunem așa, transferăm sensul actual al cuvântului „știință” în perioada anterioară erei noastre. Pitagora a trăit în secolul al XNUMX-lea î.Hr. Nu numai că nu știa un computer, telefon mobil și e-mail, dar nici nu știa cine sunt Robert Lewandowski, Mieszko I, Carol cel Mare și Cicero. Nu știa nici cifre arabe, nici măcar romane (au intrat în uz în jurul secolului al V-lea î.Hr.), nu știa ce sunt războaiele punice... Dar știa muzică...

El știa că la instrumentele cu coarde coeficienții de vibrație erau invers proporționali cu lungimea părților vibratoare ale coardelor. El știa, știa, pur și simplu nu putea să exprime așa cum o facem noi astăzi.

Frecvențele celor două vibrații ale coardelor care alcătuiesc o octavă sunt într-un raport de 1:2, adică frecvența notei superioare este de două ori mai mare decât frecvența celei inferioare. Raportul corect de vibrație pentru a cincea este 2:3, a patra este 3:4, a treia majoră pură este 4:5, a treia minoră este 5:6. Acestea sunt intervale placute de consoane. Apoi sunt două neutre, cu rapoarte de vibrație de 6:7 și 7:8, apoi cele disonante - un ton mare (8:9), un ton mic (9:10). Aceste fracții (raporturi) sunt ca rapoartele membrilor succesivi ai unei secvențe pe care matematicienii (din acest motiv) o numesc seria armonică:

este o sumă teoretic infinită. Raportul oscilațiilor octavei poate fi scris ca 2:4 și puneți o cincime între ele: 2:3:4, adică vom împărți octava într-o cincime și o patra. Aceasta se numește împărțirea segmentelor armonice în matematică:

Orez. 1. Pentru un muzician: împărțirea octavei AB în a cincea AC.Pentru matematician: Segmentarea armonică

Ce vreau să spun când vorbesc (mai sus) despre o sumă infinită teoretic, cum ar fi seria armonică? Se pare că o astfel de sumă poate fi orice număr mare, principalul lucru este că adăugăm mult timp. Sunt din ce în ce mai puține ingrediente, dar sunt din ce în ce mai multe. Ce prevalează? Aici intrăm în domeniul analizei matematice. Se dovedește că ingredientele sunt epuizate, dar nu foarte repede. Voi arăta că luând suficiente ingrediente, pot rezuma:

arbitrar de mare. Să luăm „de exemplu” n = 1024. Să grupăm cuvintele așa cum se arată în figură:

În fiecare paranteză, fiecare cuvânt este mai mare decât precedentul, cu excepția, bineînțeles, a ultimului, care este egal cu el însuși. În următoarele paranteze, avem 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 și 512 componente; valoarea sumei din fiecare paranteză este mai mare decât ½. Toate acestea sunt mai mult de 5½. Calcule mai precise ar arăta că această sumă este de aproximativ 7,50918. Nu mult, dar întotdeauna, și puteți vedea că luând n orice mare, pot depăși orice număr. Acesta este incredibil de lent (de exemplu, suntem în top zece numai cu ingrediente), dar creșterea infinită i-a fascinat întotdeauna pe matematicieni.

Călătorie spre infinit cu seria armonică

Iată un puzzle pentru o matematică destul de serioasă. Avem o ofertă nelimitată de blocuri dreptunghiulare (ce să spun, dreptunghiulare!) cu dimensiuni, să zicem, 4 × 2 × 1. Să considerăm un sistem format din mai multe (pe smochin. 2 - patru) blocuri, dispuse astfel încât primul să fie înclinat cu ½ din lungime, al doilea de sus cu ¼ și așa mai departe, al treilea cu o șesime. Ei bine, poate pentru a o face cu adevărat stabilă, să înclinăm prima cărămidă puțin mai puțin. Nu contează pentru calcule.

Orez. 2. Determinarea centrului de greutate

De asemenea, este ușor de înțeles că, deoarece figura compusă din primele două blocuri (numărând de sus) are un centru de simetrie în punctul B, atunci B este centrul de greutate. Să definim geometric centrul de greutate al sistemului, compus din cele trei blocuri superioare. Un argument foarte simplu este suficient aici. Să împărțim mental compoziția din trei blocuri în două superioare și una a treia inferioară. Acest centru trebuie să se afle pe secțiunea care leagă centrele de greutate ale celor două părți. În ce moment al acestui episod?

Există două moduri de a desemna. În primul, vom folosi observația că acest centru trebuie să se afle în mijlocul piramidei cu trei blocuri, adică pe o linie dreaptă care intersectează al doilea bloc din mijloc. În al doilea mod, înțelegem că, deoarece cele două blocuri de sus au o masă totală de două ori mai mare decât a unui singur bloc #3 (sus), centrul de greutate al acestei secțiuni trebuie să fie de două ori mai aproape de B decât de centru. S al celui de-al treilea bloc. În mod similar, găsim următorul punct: conectăm centrul găsit al celor trei blocuri cu centrul S al celui de-al patrulea bloc. Centrul întregului sistem se află la înălțimea 2 și în punctul care împarte segmentul la 1 la 3 (adică la ¾ din lungimea acestuia).

Calculele pe care le vom efectua puțin mai departe duc la rezultatul prezentat în Fig. fig. 3. Centrele de greutate consecutive sunt îndepărtate de pe marginea dreaptă a blocului inferior prin:

Astfel, proiecția centrului de greutate al piramidei este întotdeauna în interiorul bazei. Turnul nu se va răsturna. Acum să ne uităm la smochin. 3 si pentru o clipa sa folosim ca baza al cincilea bloc de sus (cel marcat cu culoarea mai stralucitoare). Înclinat de sus:

astfel, marginea sa stângă este cu 1 mai departe decât marginea dreaptă a bazei. Iată următorul leagăn:

Care este cel mai mare leagăn? Știm deja! Nu există cel mai mare! Luând chiar și cele mai mici blocuri, poți obține o surplomă de un kilometru - din păcate, doar matematic: întregul Pământ nu ar fi suficient pentru a construi atâtea blocuri!

Orez. 3. Adăugați mai multe blocuri

Acum calculele pe care le-am lăsat mai sus. Vom calcula toate distanțele „pe orizontală” pe axa x, pentru că asta este tot. Punctul A (centrul de greutate al primului bloc) se află la 1/2 de marginea dreaptă. Punctul B (centrul sistemului de două blocuri) este la 1/4 distanță de marginea dreaptă a celui de-al doilea bloc. Punctul de plecare să fie sfârșitul celui de-al doilea bloc (acum vom trece la al treilea). De exemplu, unde este centrul de greutate al blocului unic #3? Prin urmare, jumătate din lungimea acestui bloc este 1/2 + 1/4 = 3/4 de punctul nostru de referință. Unde este punctul C? În două treimi din segmentul cuprins între 3/4 și 1/4, adică în punctul anterior, schimbăm punctul de referință la marginea dreaptă a celui de-al treilea bloc. Centrul de greutate al sistemului cu trei blocuri este acum eliminat din noul punct de referință și așa mai departe. Centrul de greutate C_n un turn compus din n blocuri se află la 1/2 n distanță de punctul de referință instantaneu, care este marginea dreaptă a blocului de bază, adică al n-lea bloc din partea de sus.

Deoarece seria reciprocelor diverge, putem obține orice variație mare. Ar putea fi implementat acest lucru? Este ca un turn nesfârșit de cărămidă - mai devreme sau mai târziu se va prăbuși sub propria greutate. În schema noastră, inexactitățile minime în plasarea blocurilor (și creșterea lentă a sumelor parțiale ale seriei) înseamnă că nu vom ajunge foarte departe.