de cinci ori în ochi
La sfârșitul anului 2020 au avut loc mai multe evenimente la universități și școli, amânate din ... martie. Una dintre ele a fost „sărbătoarea” zilei pi. Cu această ocazie, pe 8 decembrie, am susținut o prelegere la distanță la Universitatea din Silezia, iar acest articol este un rezumat al prelegerii. Întreaga petrecere a început la 9.42, iar prelegerea mea este programată pentru 10.28. De unde o asemenea acuratețe? Este simplu: de 3 ori pi este aproximativ 9,42, iar π la a doua putere este aproximativ 2, iar ora 9,88 la puterea a 9-a este de la 88 la a 10-a ...
Obiceiul de a onora acest număr, exprimând raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia și numit uneori constanta lui Arhimede (precum și în culturile de limbă germană), provine din SUA (Vezi si: ). 3.14 martie „Stil american” la 22:22, de aici ideea. Echivalentul polonez ar putea fi 7 iulie, deoarece fracția 14/XNUMX aproximează bine π, ceea ce... Arhimede știa deja. Ei bine, XNUMX martie este cel mai bun moment pentru evenimente secundare.
Aceste trei și paisprezece sutimi sunt unul dintre puținele mesaje matematice care ne-au rămas pe viață de la școală. Toată lumea știe ce înseamnă asta"de cinci ori în ochi". Este atât de înrădăcinată în limbă, încât este dificil să o exprimi diferit și cu aceeași grație. Când am întrebat la atelierul de reparații auto cât ar putea costa reparația, mecanicul s-a gândit și a spus: „de cinci ori aproximativ opt sute de zloți”. Am decis să profit de situație. „Vrei să spui o aproximare aproximativă?”. Mecanicul trebuie să fi crezut că am auzit greșit, așa că a repetat: „Nu știu exact cât, dar de cinci ori cu ochiul ar fi 800”.
.
Despre ce e vorba? Ortografia de dinaintea celui de-al Doilea Război Mondial folosea „nu” împreună și l-am lăsat acolo. Nu avem de-a face aici cu o poezie inutil de grandilocventă, deși îmi place ideea că „o corabie de aur pompează fericirea”. Întrebați elevii: Ce înseamnă acest gând? Dar valoarea acestui text se află în altă parte. Numărul de litere din următoarele cuvinte sunt cifrele extensiei pi. Să vedem:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128
În 1596, un om de știință olandez de origine germană Ludolph van Seulen a calculat valoarea lui pi la 35 de zecimale. Apoi aceste figuri au fost gravate pe mormântul lui. Ea a dedicat o poezie numărului pi și laureatului nostru Nobel, Vislava Shimborska. Szymborska a fost fascinată de neperiodicitatea acestui număr și de faptul că, cu probabilitatea 1, fiecare secvență de numere, cum ar fi numărul nostru de telefon, ar apărea acolo. În timp ce prima proprietate este inerentă fiecărui număr irațional (pe care ar trebui să ne amintim de la școală), a doua este un fapt matematic interesant care este greu de demonstrat. Puteți găsi chiar și aplicații care oferă: dați-mi numărul de telefon și vă spun unde este în pi.
Acolo unde este rotunjime, acolo este somn. Dacă avem un lac rotund, atunci mersul în jurul lui este de 1,57 ori mai lung decât înotul. Desigur, asta nu înseamnă că vom înota de o dată și jumătate până la două ori mai încet decât vom trece. Am împărțit recordul mondial la 100 m cu cel la 100 m. Interesant este că la bărbați și femei, rezultatul este aproape același și este de 4,9. Înotăm de 5 ori mai încet decât alergăm. Canotajul este complet diferit - dar o provocare interesantă. Are o poveste destul de lungă.
Fugând de ticălosul care îl urmărește, frumosul și nobilul Bun a navigat spre lac. Nelegiuitul aleargă de-a lungul țărmului și așteaptă ca ea să-l facă să aterizeze. Desigur, aleargă mai repede decât Dobry, iar dacă aleargă lin, Dobry este mai rapid. Deci singura șansă pentru Evil este să obțină Binele de pe țărm - o lovitură precisă de la un revolver nu este o opțiune, pentru că. Binele are informații valoroase pe care Răul vrea să le cunoască.
Good aderă la următoarea strategie. El înoată peste lac, apropiindu-se treptat de mal, dar încercând mereu să fie de partea opusă a Celui Rău, care aleargă aleatoriu la stânga, apoi la dreapta. Acest lucru este prezentat în figură. Fie ca poziția de început a Evil să fie Z1, iar Dobre este mijlocul lacului. Când Zly se mută la Z1, Dobro va naviga spre D.1când Bad este în Z2, bine pe D2. Va curge în zig-zag, dar respectând regula: cât mai departe posibil de Z. Cu toate acestea, pe măsură ce se îndepărtează de centrul lacului, Good trebuie să se miște în cercuri din ce în ce mai mari și, la un moment dat, nu poate. să adere la principiul „a fi de cealaltă parte a răului”. Apoi a vâslit cu toată puterea până la mal, sperând că Cel Rău nu va ocoli lacul. Va reuși Good?
Răspunsul depinde de cât de repede poate să vâsle Good în raport cu valoarea picioarelor lui Bad. Să presupunem că Omul Rău aleargă cu o viteză de s ori mai mare decât viteza Omului Bun pe lac. În consecință, cel mai mare cerc, pe care binele poate vâsli pentru a rezista răului, are o rază de o dată mai mică decât raza unui lac. Deci, în desenul pe care îl avem. În punctul W, Tipul nostru începe să vâsleze spre țărm. Aceasta trebuie să meargă
cu viteza
Are nevoie de timp.
Wicked își urmărește toate picioarele cele mai bune. El trebuie să completeze jumătate de cerc, ceea ce îi va lua secunde sau minute, în funcție de unitățile alese. Dacă acesta este mai mult decât un final fericit:
Cel bun va merge. Conturile simple arată ce ar trebui să fie. Dacă Omul Rău aleargă mai repede de 4,14 ori Omul Bun, nu se termină bine. Și aici intervine și numărul nostru pi.
Ceea ce este rotund este frumos. Să ne uităm la fotografia a trei farfurii decorative - le am după părinții mei. Care este aria triunghiului curbiliniu dintre ele? Aceasta este o sarcină simplă; raspunsul este in aceeasi poza. Nu suntem surprinși că apare în formulă - până la urmă, acolo unde există rotunjime, există pi.
Am folosit un cuvânt posibil necunoscut:. Acesta este numele numărului pi în cultura de limbă germană și toate acestea datorită olandezilor (de fapt, un german care a trăit în Țările de Jos - naționalitatea nu conta la acel moment), Ludolf din Seulen... În 1596 g. a calculat 35 de cifre ale expansiunii sale la zecimale. Acest record a ținut până în 1853, când William Rutherford a numărat 440 de locuri. Deținătorul recordului pentru calculele manuale este (probabil pentru totdeauna) William Shankscare, după mulți ani de muncă, a publicat (în 1873) extensie la 702 cifre. Abia în 1946, ultimele 180 de cifre s-au dovedit a fi incorecte, dar așa a rămas. 527 corect. A fost interesant să găsim bug-ul în sine. La scurt timp după publicarea rezultatului lui Shanks, ei au bănuit că „ceva nu era în regulă” - erau în mod suspect de puțini șapte în dezvoltare. Ipoteza încă nedovedită (decembrie 2020) afirmă că toate numerele ar trebui să apară cu aceeași frecvență. Acest lucru l-a determinat pe D.T. Ferguson să revizuiască calculele lui Shanks și să găsească eroarea „învățătorului”!
Mai târziu, calculatoarele și calculatoarele au ajutat oamenii. Actualul deținător al recordului (decembrie 2020) este Timothy Mullican (50 de trilioane de zecimale). Calculele au durat... 303 zile. Să ne jucăm: cât spațiu ar ocupa acest număr, tipărit într-o carte standard. Până de curând, „partea” tipărită a textului avea 1800 de caractere (30 de rânduri cu 60 de rânduri). Să reducem numărul de caractere și marginile paginii, să înghesuim 5000 de caractere pe pagină și să tipărim cărți de 50 de pagini. Deci, XNUMX trilioane de caractere ar lua zece milioane de cărți. Nu-i rău, nu?
Întrebarea este, ce rost are o astfel de luptă? Din punct de vedere pur economic, de ce ar trebui să plătească contribuabilul pentru o asemenea „distracție” a matematicienilor? Răspunsul nu este dificil. Primul, din Seulen a inventat spaţii libere pentru calcule, apoi util pentru calcule logaritmice. Dacă i s-ar fi spus: te rog, construiește spații libere, ar fi răspuns: de ce? În mod similar, comanda:. După cum știți, această descoperire nu a fost în întregime întâmplătoare, dar totuși un produs secundar al cercetărilor de alt tip.
În al doilea rând, să citim ce scrie Timothy Mullican. Iată o reproducere a începutului lucrării sale. Profesorul Mullican este în domeniul securității cibernetice, iar pi este un hobby atât de mic încât tocmai și-a testat noul sistem de securitate cibernetică.
Și că 3,14159 în inginerie este mai mult decât suficient, asta e altă chestiune. Să facem un calcul simplu. Jupiter se află la 4,774 Tm distanță de Soare (terametru = 1012 metri). Pentru a calcula circumferința unui astfel de cerc cu o astfel de rază la o precizie absurdă de 1 milimetru, ar fi suficient să luăm π = 3,1415926535897932.
Fotografia următoare arată un sfert de cerc de cărămizi Lego. Am folosit 1774 tampoane și a fost aproximativ 3,08 pi. Nu e cel mai bun, dar la ce să te aștepți? Un cerc nu poate fi format din pătrate.
Exact. Se știe că numărul pi este cerc pătrat - o problemă de matematică care își așteaptă rezolvarea de mai bine de 2000 de ani - încă din vremea Greciei. Puteți folosi o busolă și o linie dreaptă pentru a construi un pătrat a cărui zonă este egală cu aria cercului dat?
Termenul „pătrat de cerc” a intrat în limba vorbită ca simbol al ceva imposibil. Apăs tasta pentru a întreba, este un fel de încercare de a umple șanțul de ostilitate care desparte cetățenii frumoasei noastre țări? Dar deja evit acest subiect, pentru că probabil mă simt doar la matematică.
Și din nou același lucru - soluția la problema de la pătratul cercului nu a apărut în așa fel încât autorul soluției, Charles Lindemann, în 1882 a fost înființat și în cele din urmă a reușit. Într-o oarecare măsură da, dar a fost rezultatul unui atac de pe un front larg. Matematicienii au învățat că există diferite tipuri de numere. Nu numai numere întregi, raționale (adică fracții) și iraționale. Incomensurabilitatea poate fi, de asemenea, mai bună sau mai proastă. Ne putem aminti de la școală că numărul irațional este √2, un număr care exprimă raportul dintre lungimea diagonalei unui pătrat și lungimea laturii sale. Ca orice număr irațional, are o extensie nedefinită. Permiteți-mi să vă reamintesc că expansiunea periodică este o proprietate a numerelor raționale, adică. numere întregi private:
Aici secvența numerelor 142857 se repetă la nesfârșit. Pentru √2 acest lucru nu se va întâmpla - aceasta face parte din iraționalitate. Dar tu poti:
(fracția continuă pentru totdeauna). Vedem aici un model, dar de alt tip. Pi nici măcar nu este atât de comun. Nu se poate obține prin rezolvarea unei ecuații algebrice – adică una în care nu există nici rădăcină pătrată, nici logaritm, nici funcții trigonometrice. Acest lucru arată deja că nu este constructibil - desenarea de cercuri duce la funcții pătratice, iar liniile - linii drepte - la ecuații de gradul întâi.
Poate m-am abătut de la intriga principală. Doar dezvoltarea tuturor matematicii a făcut posibilă întoarcerea la origini - la matematica străveche și frumoasă a gânditorilor care au creat pentru noi cultura europeană a gândirii, care este atât de îndoielnică astăzi de unii.
Din multele modele reprezentative, am ales două. Primul dintre ei îl asociem cu numele de familie Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Dar el era cunoscut (model, nu Leibniz) savantului hindus medieval Madhava din Sangamagram (1350-1425). Transferul de informații la acea vreme nu era grozav - conexiunile la internet erau adesea cu probleme și nu existau baterii pentru telefoanele mobile (pentru că electronica nu fusese încă inventată!). Formula este frumoasă, dar inutilă pentru calcule. Din o sută de ingrediente se obține „doar” 3,15159.
e putin mai bine Formula lui Viète (cel din ecuațiile pătratice), iar formula sa este ușor de programat deoarece următorul termen din produs este rădăcina pătrată a precedentului plus doi.
Știm că cercul este rotund. Putem spune că aceasta este o rundă de 100%. Matematicianul va întreba: poate ceva să nu fie rotund de 1 la sută? Aparent, acesta este un oximoron, o frază care conține o contradicție ascunsă, cum ar fi, de exemplu, gheața fierbinte. Dar să încercăm să măsurăm cât de rotunde pot fi formele. Rezultă că o măsură bună este dată de următoarea formulă, în care S este aria și L este circumferința figurii. Să aflăm că cercul este într-adevăr rotund, că sigma este 6. Aria cercului este circumferința. Introducem... și vedem ce este corect. Cât de rotund este pătratul? Calculele sunt la fel de simple, nici nu le dau. Luați un hexagon regulat înscris într-un cerc cu o rază. Perimetrul este evident XNUMX.
Pol
Ce zici de un hexagon obișnuit? Circumferința sa este de 6 și aria sa
Deci avem
care este aproximativ egal cu 0,952. Hexagonul este mai mult de 95% „rotund”.
Un rezultat interesant se obține la calcularea rotunjimii unui stadion de sport. Conform regulilor IAAF, liniile drepte și curbele trebuie să aibă o lungime de 40 de metri, deși sunt permise abateri. Îmi amintesc că Stadionul Bislet din Oslo era îngust și lung. Scriu „era” pentru că chiar am alergat pe el (pentru un amator!), Dar acum mai bine de XNUMX ani. Să aruncăm o privire:
Dacă arcul are o rază de 100 de metri, raza acelui arc este de metri. Suprafața gazonului este de metri pătrați, iar zona din afara acesteia (unde există trambulie) totalizează metri pătrați. Să conectăm asta în formula:
Deci rotunjimea unui stadion de sport are vreo legătură cu un triunghi echilateral? Deoarece înălțimea unui triunghi echilateral este de același număr de ori latura. Este o coincidență aleatoare a numerelor, dar e frumos. Imi place. Și cititorii?
Ei bine, e bine că este rotund, deși unii ar putea obiecta pentru că virusul care ne afectează pe toți este rotund. Cel puțin așa o desenează.
