Articol despre nimic

În copilărie, eram fascinat de povestea, probabil cunoscută de mulți cititori, despre „ciorbă pe unghii”. Bunica mea (născută în secolul al XNUMX-lea) mi-a spus asta în versiunea „Un cazac a venit și a cerut apă, pentru că avea un cui și gătea supă cu ea”. Gospodina curioasă i-a dat o oală cu apă... și știm ce s-a întâmplat mai departe: „ciorba să fie sărată, daitya, bunica, sare”, apoi a spălat carnea „pentru a îmbunătăți gustul” și așa mai departe. Până la urmă a aruncat unghia „fiartă”.

Deci, acest articol ar fi trebuit să fie despre golul spațiului - și este vorba despre aterizarea navei spațiale europene pe cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko pe 12 noiembrie 2014. Dar, în timp ce scriam, am cedat unui obicei de lungă durată. , sunt încă matematician. Cum e cu Caс Zero matematică?

Cum nu există nimic?

Nu se poate spune că Nimic nu există. Ea există cel puțin ca un concept filozofic, matematic, religios și complet colocvial. Zero este un număr obișnuit, zero grade pe un termometru este, de asemenea, o temperatură, iar un sold zero într-o bancă este un eveniment neplăcut, dar obișnuit. Rețineți că nu există un an zero în cronologie și asta pentru că zero a fost introdus în matematică abia în Evul Mediu târziu, mai târziu decât cronologia propusă de călugărul Dionisie (secolul al XNUMX-lea).

Destul de ciudat, am putea de fapt să facem fără acest zero și, prin urmare, fără numere negative. Într-unul dintre manualele de logică am găsit un exercițiu: desenați sau spuneți cum vă imaginați absența peștilor. Uimitor, nu-i așa? Oricine poate desena un pește, dar absența unuia?

Acum pe scurt curs de matematică de bază. Acordarea privilegiului de existență unei mulțimi goale, marcată cu un cerc tăiat ∅, este o procedură necesară, analogă cu adăugarea zero la mulțimea de numere. Setul gol este singurul set care nu conține niciun element. Astfel de colecții:

Dar nu există două seturi goale diferite. Setul gol este inclus în fiecare alt set:

Într-adevăr, regulile logicii matematice spun că o mulțime A este conținută într-o mulțime B dacă și numai dacă propoziția:

aceasta presupune

În cazul unei mulțimi goale ∅, propoziția este întotdeauna falsă și astfel, conform legilor logicii, implicația în ansamblu este adevărată. Totul provine dintr-o minciună („Voi crește un cactus dacă treci la următoarea clasă...”). Acum, din moment ce mulțimea goală este conținută în fiecare dintre celelalte, dacă ar fi două distincte, fiecare dintre ele ar fi conținut în celălalt. Cu toate acestea, dacă două seturi sunt conținute unul în celălalt, ele sunt egale. Iată de ce: există un singur set gol!

Postulatul despre existența mulțimii goale nu contrazice nicio lege a matematicii, așa că de ce să nu o aducem la viață? Un principiu filozofic numitBriciul lui Occam„Un ordin de excludere a conceptelor inutile, dar tocmai potrivite conceptul de mulţime goală este foarte util în matematică. Vă rugăm să rețineți că mulțimea goală are o dimensiune de -1 (minus unu) - elementele zero-dimensionale sunt puncte și sistemele lor rare, elementele unidimensionale sunt linii și am vorbit despre elemente matematice foarte complexe cu dimensiune fractală în capitolul despre fractali.

Este interesant că întreaga clădire a matematicii: numere, cifre, funcții, operatori, integrale, diferențiale, ecuații... poate fi derivată dintr-un singur concept - mulțimea goală! Este suficient să presupunem că există un set gol, elementele nou create pot fi combinate în seturi pentru a putea construiește toată matematica. Așa a construit numerele naturale logicianul german Gottlob Frege. Null este o clasă de mulțimi ale căror elemente sunt în corespondență reciprocă cu elementele mulțimii goale. Una este o clasă de mulțimi ale căror elemente sunt în corespondență reciprocă cu elementele unei mulțimi al cărei singur element este mulțimea goală. Două este clasa mulțimilor ale căror elemente sunt unu-la-unu cu elementele mulțimii constând din mulțimea goală și mulțimea al cărei singur element este mulțimea goală... și așa mai departe. La prima vedere pare ceva foarte complicat, dar în realitate nu este.

Cel albastru se întinde peste mine,

mirosea a erica si mirosea a menta...

Wojciech Mlynarski, „Fata din recoltă”

Este greu de imaginat

Nimic nu este greu de imaginat. În povestea lui Stanislaw Lem „Cum a fost salvată lumea”, designerul Trurl a construit o mașină care ar face totul, începând cu scrisoarea. Când Klapaucius a ordonat să fie construită Nic, mașina a început să îndepărteze diverse obiecte din lume - cu scopul final de a elimina totul. Când înspăimântatul Klapaucius a oprit mașina, galerele, tisele, cele agățate, mâzgălile, rimele, corolele, pufurile, râșnițele, scuipatele, filidronii și gerurile dispăruseră pentru totdeauna din lume. Și într-adevăr, au dispărut pentru totdeauna...

Józef Tischner a scris foarte bine despre nimic în Istoria filozofiei muntelui. În ultima vacanță m-am hotărât să experimentez acest nimic, și anume, m-am dus la mlaștinile dintre Nowy Targ și Jablonka din Podhale. Această zonă se numește chiar Pustachia. Conduceți și conduceți, dar drumul nu devine mai mic - desigur, la scara noastră modestă poloneză. Am călătorit odată cu autobuzul prin provincia canadiană Saskatchewan. În afara ferestrei era un lan de porumb. Am tras un pui de somn timp de o jumătate de oră. Când m-am trezit, mergeam prin același lan de porumb... Dar stai, e gol? Într-un fel, absența schimbării este pur și simplu gol.

Suntem obișnuiți cu prezența constantă a diverselor obiecte din jurul nostru, și din Ceva nu poți scăpa nici măcar cu ochii închiși. „Cred, deci exist”, a spus Descartes. Dacă m-am gândit deja la ceva, înseamnă că exist și asta înseamnă că există măcar ceva în lume (și anume eu). Ceea ce credeam eu există? Acest lucru poate fi discutat, dar în mecanica cuantică modernă este cunoscut principiul Heisenberg: fiecare observație perturbă starea obiectului observat. Până când o vedem Nic nu există, iar când începem să privim, obiectul încetează să mai fie Ca si devine Ceva. Acest lucru duce la absurd principiul antropic: Nu are rost să ne întrebăm cum ar fi lumea dacă nu am exista. Lumea este așa cum ni se pare nouă. Poate că alte creaturi vor vedea Pământul ca unghiular?

Un pozitron (un astfel de electron pozitiv) este o gaură în spațiu, „nu există electron”. În timpul procesului de anihilare, un electron sare în această gaură și „nu se întâmplă nimic” - nu există nici o gaură, nici un electron. Voi sări peste multe glume despre găurile în brânza elvețiană („cu cât am mai mult, cu atât este mai puțin…”). Celebrul compozitor John Cage și-a folosit deja ideile atât de mult încât a compus (?) o piesă muzicală (?) în care orchestra stă nemișcată timp de 4 minute și 33 de secunde și, desigur, nu cântă nimic. „Patru minute și treizeci și trei de secunde înseamnă două sute șaptezeci și trei, 273, iar minus 273 de grade este zero absolut, la care se oprește toată mișcarea”, a explicat compozitorul (?).

Filtrați la zero, nimic, nick, nick, nimic, zero!

Jerzy în filmul lui Andrzej Wajda Over the Years,

zilele trec"

Ce zici de Totul?

Mulți oameni (de la simpli cultivatori de cereale până la filosofi de seamă) s-au întrebat despre fenomenul existenței. În matematică situația este simplă: există ceva care este consistent.

Ea a dispărut în câmpurile de margine

În flori de colț, buruieni și guri de leu...

Ei bine, lucrurile astea se întâmplă

Mai ales la recoltare, și în timpul recoltei

in mod deosebit…

Wojciech Mlynarski, „Fata din recoltă”

Totul este la cealaltă extremă de la Nimic. La matematică se ştie că Totul nu există. Este pur și simplu prea inexact să ne imaginăm că existența lui ar fi lipsită de controverse. Acest lucru poate fi înțeles prin exemplul vechiului paradox: „Dacă Dumnezeu este atotputernic, atunci creează o piatră pe care să o ridici?” Dovada matematică că nu poate exista o mulțime a tuturor mulțimilor se bazează pe teoremă cântăreţul-Berstein, care spune că „un număr infinit” (matematic: numar cardinal) mulţimea tuturor membrilor unei mulţimi date este mai mare decât numărul de elemente ale acestei mulţimi.

Dacă o mulțime are elemente, atunci are 2ⁿ subseturi; de exemplu, când = 3 și mulțimea constă din {1, 2, 3}, atunci există următoarele submulțimi:

• trei seturi de două elemente: fiecare dintre ele lipsește unul dintre numerele 1, 2, 3,
• un set gol,
• trei seturi singleton,
• întregul set {1,2,3}

– opt în total, 2³Și pentru cititorii care au absolvit recent școala, aș dori să vă reamintesc formula corespunzătoare:

Fiecare dintre simbolurile newtoniene din această formulă determină numărul de seturi de k-element din setul de -element.

În matematică, coeficienții binomi apar în multe alte locuri, cum ar fi în formule de înmulțire abreviate interesante:

iar din forma lor exactă ceea ce este mult mai interesant este interdependenţa lor.

Este greu de înțeles ce este și ce nu este – în ceea ce privește logică și matematică. Argumente în favoarea inexistenței La fel ca și cele ale lui Winnie the Pooh, care și-a întrebat politicos oaspetele, Tigru, oare Tigroilor le plac chiar mierea, ghindele și ciulinii? „Tigrilor le place totul”, a răspuns cel, din care Kubus a concluzionat că, dacă le place totul, înseamnă că le place și să doarmă pe podea, prin urmare, el, Vinnie, se poate întoarce în pat.

Un alt argument Paradoxul lui Russell. Există un frizer în oraș care îi rade pe toți bărbații care nu se rad singuri. Se rade singur? Ambele răspunsuri contrazic condiția enunțată că îi ucid pe aceia și numai pe cei care nu o fac ei înșiși.

Caut colecția tuturor colecțiilor

În concluzie, voi oferi o dovadă inteligentă, dar cea mai matematică, că nu există un set de toate mulțimile (a nu fi confundat cu ea).

În primul rând, vom arăta că pentru orice mulțime nevidă X este imposibil să găsim o funcție unică reciprocă care mapează această mulțime la mulțimea submulțimii sale P(X). Deci, să presupunem că această funcție există. Să-i spunem tradițional f. Ce este f din x? Aceasta este o colecție. Xf aparține lui x? Acest lucru este necunoscut. Ori trebuie, ori nu. Dar pentru unii x trebuie să fie încă astfel încât să nu aparțină lui f din x. Ei bine, atunci considerăm mulțimea tuturor x pentru care x nu aparține lui f(x). Să o notăm (această mulțime) cu A. Ea corespunde unui element a din mulțimea X. A aparține lui A? Să presupunem că trebuie. Dar A este o mulțime care conține doar acele elemente ale lui x care nu aparțin lui f(x)... Ei bine, poate că nu aparține lui A? Dar mulțimea A conține toate elementele acestei proprietăți și, prin urmare, A. Sfârșitul dovezii.

Prin urmare, dacă ar exista o mulțime de toate mulțimile, ar fi ea însăși o submulțime a lui însuși, ceea ce este imposibil conform raționamentului anterior.

Uf, nu cred că mulți cititori au citit aceste dovezi. Mai degrabă, o aduc în discuție pentru a arăta ce aveau de făcut matematicienii la sfârșitul secolului al XIX-lea, când au început să studieze fundamentele propriei științe. S-a dovedit că problemele stau acolo unde nimeni nu se aștepta la ele. Mai mult, pentru toate matematicile aceste argumente despre fundamente sunt irelevante: indiferent de ce se întâmplă în subsoluri - întreaga clădire a matematicii stă pe piatră solidă.

Între timp, la cel mai înalt nivel...

Să remarcăm încă o morală din poveștile lui Stanislaw Lem. Într-una dintre călătoriile sale, Iyon Tichi a ajuns pe o planetă ai cărei locuitori, după o evoluție îndelungată, ajunseseră în sfârșit la cel mai înalt stadiu de dezvoltare. Toți sunt puternici, pot face orice, au totul la îndemână... și nu fac nimic. Se întind pe nisip și îl toarnă între degete. „Dacă totul este posibil, nu merită”, îi explică ei șocatului Yijong. Să nu se întâmple asta civilizației noastre europene...