Ecuații, coduri, cifruri, matematică și poezie

Michal Shurek spune despre sine: „M-am născut în 1946. Am absolvit Universitatea din Varșovia în 1968 și de atunci lucrez la Facultatea de Matematică, Informatică și Mecanică. Specializare științifică: geometrie algebrică. M-am ocupat recent de pachetele de vectori. Ce este un fascicul vectorial? Deci, vectorii trebuie să fie strâns legați cu un fir și avem deja o grămadă. Prietenul meu fizician Anthony Sim m-a făcut să mă alătur Tânărului Tehnician (el recunoaște că ar trebui să primească drepturi de autor din onorariile mele). Am scris câteva articole și apoi am rămas, iar din 1978 poți citi în fiecare lună ce cred eu despre matematică. Iubesc munții și, în ciuda faptului că sunt supraponderal, încerc să merg pe jos. Cred că profesorii sunt cei mai importanți. Aș ține politicienii, oricare ar fi opțiunile lor, într-o zonă puternic păzită, astfel încât să nu poată scăpa. Hrăniți o dată pe zi. Un beagle din Tulek mă place.

O ecuație este ca un cifr pentru un matematician. Rezolvarea ecuațiilor, chintesența matematicii, este citirea textului cifrat. Acest lucru a fost observat de teologi încă din secolul al XNUMX-lea. Ioan Paul al II-lea, care știa matematică, a scris și a menționat acest lucru de mai multe ori în predicile sale - din păcate, faptele mi-au fost șterse din memorie.

În știința școlară este reprezentată Pitagora ca autor al teoremei asupra unei dependențe într-un triunghi dreptunghic. A devenit parte din filosofia noastră eurocentrică. Și totuși Pitagora are mult mai multe virtuți. El a fost cel care a impus studenților săi datoria de a „cunoaște lumea”, din „ce se află în spatele acestui deal?” înainte de a studia stelele. De aceea europenii au „descoperit” civilizații antice, și nu invers.

Unii cititori își amintescViète modeleși"; mulți cititori mai în vârstă își amintesc termenul în sine de la școală și aproximativ faptul că întrebarea a apărut în ecuații patratice. Aceste regularități sunt „ideologic” criptare informație.

Nu e de mirare Francois Viet (1540-1603) s-a angajat în criptografie la curtea lui Henric al IV-lea (primul rege francez din dinastia Bourbon, 1553-1610) și a reușit să spargă cifrul folosit de britanici în războiul cu Franța. Așadar, a jucat același rol ca și matematicienii polonezi (conduși de Marian Rejewski), care au descoperit secretele mașinii germane de cifrat Enigma înainte de al Doilea Război Mondial.

tema modei

Exact. Tema „coduri și cifruri” a devenit de mult la modă în predare. Am scris deja despre asta de mai multe ori, iar peste două luni va mai fi o serie. De data aceasta scriu sub impresia unui film despre războiul din 1920, unde victoria s-a datorat în mare măsură încălcării codului trupelor bolșevice de către o echipă condusă de tânărul de atunci. Vaclav Serpinsky (1882-1969). Nu, încă nu este Enigma, este doar o introducere. Îmi amintesc o scenă din film în care Józef Piłsudski (interpretat de Daniil Olbrychski) îi spune șefului departamentului de criptare:

Mesajele decodificate au purtat un mesaj important: trupele lui Tuhacevski nu vor primi sprijin. Poți ataca!

L-am cunoscut pe Vaclav Sierpinski (dacă pot să spun așa: eram un tânăr student, era un profesor celebru), i-am urmat cursurile și seminariile. Dădea impresia unui savant ofilit, distras, ocupat cu disciplina sa și nevăzând lumea cealaltă. A predat special, cu fața la tablă, fără să se uite la public... dar s-a simțit ca un specialist remarcabil. Într-un fel sau altul, avea anumite abilități matematice - de exemplu, pentru rezolvarea de probleme. Mai sunt și alții – oameni de știință care sunt relativ răi la rezolvarea puzzle-urilor, dar care au o înțelegere profundă a întregii teorii și sunt capabili să inițieze câmpuri întregi de creativitate. Avem nevoie de amândouă - deși primul se va mișca mai repede.

Vaclav Sierpinski nu a vorbit niciodată despre realizările sale în 1920. Până în 1939, acest lucru a trebuit cu siguranță ținut secret, iar după 1945, cei care au luptat cu Rusia sovietică nu s-au bucurat de simpatia autorităților de atunci. Convingerea mea că e nevoie de oameni de știință, ca o armată, este dovedită: „pentru orice eventualitate”. Iată președintele Roosevelt care îl cheamă pe Einstein:

Remarcabilul matematician rus Igor Arnold a spus în mod deschis și trist că războiul a avut o mare influență asupra dezvoltării matematicii și fizicii (radarul și GPS-ul au și ele o origine militară). Nu intru în aspectul moral al folosirii bombei atomice: iată prelungirea războiului cu un an și moartea a câtorva milioane de proprii soldați - există suferința civililor nevinovați.

***

Fug în zone familiare - k. Mulți dintre noi ne-am jucat cu codurile, poate cercetând, poate chiar așa. Cifrurile simple, bazate pe principiul înlocuirii literelor cu alte litere sau alte numere, sunt rupte de obicei dacă prindem doar câteva indicii (de exemplu, ghicim numele regelui). Analiza statistică ajută și astăzi. Mai rău, când totul se schimbă. Dar cel mai rău lucru este atunci când nu există regularitate. Luați în considerare codul descris în Aventurile bunului soldat Schweik. Luați o carte, de exemplu, Potopul. Iată sugestiile de pe prima și a doua pagină.

Vrem să codificăm cuvântul „CAT”. Deschidem pagina 1 și următoarea secundă. Constatăm că la pagina 1, litera K apare prima dată pe locul 59. Al cincizeci și nouălea cuvânt îl găsim pe opus, cealaltă parte. Este un cuvânt „a”. Acum litera O. În stânga este al 16-lea cuvânt, iar al șaisprezecelea din dreapta este „Mr”. Litera T este pe locul 95, dacă am numărat corect, iar al nouăzeci și cincilea cuvânt din dreapta este „o”. Deci, CAT = 1 LORD O.

Un cifr „de neghicit”, deși dureros de lent atât pentru criptare, cât și... pentru ghicire. Să presupunem că vrem să trecem litera M. Putem verifica dacă o codificăm cu cuvântul „Wołodyjowski”. Și după noi deja pregătesc o celulă de închisoare. Putem conta doar pe un înlocuitor! În plus, contrainformații notează rapoarte ale angajaților secreti care de ceva timp clienții cumpără de bunăvoie primul volum din The Flood.

Articolul meu este o contribuție la această teză: chiar și cele mai bizare idei ale matematicienilor își pot găsi aplicare într-o practică larg înțeleasă. De exemplu, este posibil să ne imaginăm o descoperire matematică mai puțin utilă decât testul de divizibilitate cu... cu 47?

Când avem nevoie de el în viață? Și dacă da, va fi mai ușor să încerci să-l despart. Dacă se împarte, atunci e bine, dacă nu, atunci... în al doilea rând e bine (știm că nu se împarte).

Cum să împărtășești și de ce

După această introducere, să trecem la. Cunoașteți cititorii vreun semn de divizibilitate? Categoric. Numerele pare se termină cu 2, 4, 6, 8 sau zero. Un număr este divizibil cu trei dacă suma cifrelor sale este divizibil cu trei. În mod similar, cu semnul divizibilității cu nouă - suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu nouă.

Cine are nevoie? Aș minți dacă l-aș convinge pe Cititor că este bun pentru orice altceva decât... temele școlare. Ei bine, și o altă caracteristică a divizibilității cu 4 (și ce este, Cititorule? Poate o vei folosi când vei dori să știi în ce an cade următoarea Olimpiada...). Dar caracteristica divizibilității cu 47? Aceasta este deja o durere de cap. Vom ști vreodată dacă ceva este divizibil cu 47? Dacă da, atunci ia un calculator și vezi.

Acest. Ai dreptate, cititor. Și totuși, citește mai departe. Vă rog.

Divizibilitate cu 47: Numărul 100+ este divizibil cu 47 dacă și numai dacă 47 este divizibil cu +8.

Matematicianul va zâmbi satisfăcut: „Păi, drăguță”. Dar matematica este matematică. Dovezile contează și suntem atenți la frumusețea ei. Cum să ne dovedim trăsătura? E foarte simplu. Scădeți din 100 + numărul 94 - 47 = 47 (2 -). Obținem 100+-94+47=6+48=6(+8).

Am scăzut un număr care este divizibil cu 47, deci dacă 6 (+ 8) este divizibil cu 47, atunci la fel este 100 +. Dar numărul 6 este relativ prim cu 47, ceea ce înseamnă că 6 (+ 8) este divizibil cu 47 dacă și numai dacă este + 8. Sfârșitul dovezii.

Să vedem Cateva exemple.

8805685 e divizibil cu 47? Dacă ne interesează cu adevărat, vom afla mai devreme doar împărțindu-ne așa cum am fost predați în școala elementară. Într-un fel sau altul, acum există un calculator în fiecare telefon mobil. Împărțit? Da, privat 187355.

Ei bine, să vedem ce ne spune semnul divizibilității. Deconectam ultimele două cifre, le înmulțim cu 8, adăugăm rezultatul la „numărul trunchiat” și facem același lucru cu numărul rezultat.

8805685 → 88056 + 8 · 85 = 88736 → 887 + 8 · 36 = 1175 → 11 + 8 · 75 = 611 → 6 + 8 · 11 = 94.

Vedem că 94 este divizibil cu 47 (coeficientul este 2), ceea ce înseamnă că și numărul inițial este divizibil. Amenda. Dar dacă ne continuăm să ne distrăm?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Acum trebuie să ne oprim. Patruzeci și șapte este divizibil cu 47, nu?

Chiar trebuie să ne oprim? Dacă mergem mai departe? Doamne, orice se poate întâmpla... Voi omite detaliile. Poate doar începutul:

47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.

Dar, din păcate, creează dependență ca și mestecatul semințelor...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ah, patruzeci și șapte. Sa întâmplat înainte. Ce urmeaza? . La fel. Numerele merg într-o buclă ca aceasta:

Este chiar interesant. Atâtea bucle.

două următoarele exemple.

Vrem să știm dacă 10017627 este divizibil cu 47. De ce avem nevoie de aceste cunoștințe? Ne amintim de principiul: vai de cunoașterea care nu-l ajută pe cunoscător. Cunoașterea este întotdeauna acolo pentru ceva. Va fi pentru ceva, dar acum nu voi explica. Încă câteva conturi:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

„Și-a schimbat unchiul dintr-un topor în băț”. Ce obținem din toate acestea?

Ei bine, să repetăm ​​cursul procedurilor. Adică vom continua să facem acest lucru (adică cuvântul „iterare”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Să oprim jocul, împărțim ca la școală (sau la calculator): 235 = 5 47. Bingo. Numărul original 10017627 este divizibil cu 47.

Bine făcut!

Dacă mergem mai departe? Crede-mă, poți să verifici.

Și încă un fapt interesant. Vrem să verificăm dacă 799 este divizibil cu 47. Folosim funcția de divizibilitate. Deconectăm ultimele două cifre, înmulțim numărul rezultat cu 8 și adăugăm la ce a mai rămas:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Ce avem? Este 799 divizibil cu 47 dacă și numai dacă 799 este divizibil cu 47? Da, așa este, dar nu este nevoie de matematică pentru asta!!! Uleiul este uleios (cel puțin acest ulei este uleios).

Despre frunză, pirați și sfârșitul glumelor!

Încă două povești. Unde este cel mai bun loc pentru a ascunde o frunză? Răspunsul este evident: în pădure! Dar cum poți să-l găsești atunci?

A doua pe care o cunoaștem din cărți despre pirați pe care le-am citit cu mult timp în urmă. Piratii au facut o harta a locului in care au ingropat comoara. Alții fie l-au furat, fie au câștigat lupta. Dar harta nu indica căreia insulă a fost destinată. Și caută-te pe tine! Desigur, pirații au făcut față acestei (torturi) - cifrurile despre care vorbesc pot fi extrase și prin astfel de metode.

Sfârșitul glumelor. Cititor! Creăm un cifr. Sunt un spion sub acoperire și folosesc „Tehnician Junior” ca casetă de contact. Redirecționați-mi mesajele criptate după cum urmează.

Mai întâi, convertiți textul într-un șir de numere folosind codul: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

După cum puteți vedea, nu folosim diacritice poloneze (adică fără ą, ę, ć, ń, ó, ś) și q, v non-polonez - dar x-ul non-polonez este acolo pentru orice eventualitate. Să includem încă 25 ca spațiu (spațiu între cuvinte). Oh, cel mai important lucru. Va rugam aplicati codul nr.47.

Știi ce înseamnă asta. Te duci la un prieten matematician.

Prietenul făcu ochii mari de surprindere.

Raspunzi mandru:

Un matematician te înzestrează cu această trăsătură... și știi deja că pentru criptare este folosită o funcție cu aspect discret

deoarece un astfel de model este o acțiune descrisă

100+→+8.

Deci, când vrei să știi ce înseamnă un număr, cum ar fi 77777777 într-un mesaj criptat, folosești funcția

100+→+8

până când obțineți un număr între 1 și 25. Acum uitați-vă la codul alfanumeric explicit. Să vedem: 77777777 →... Vă las asta ca sarcină. Dar să vedem ce ascunde litera 48? Sa citim:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Apoi obținem pe rând:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432

Sfârșitul nu este în vedere. Abia după a șaizecea (!) oară va apărea un număr mai mic de 25. Acesta este 3, ceea ce înseamnă că 48 este litera C.

Și ce ne oferă acest mesaj? (Vreau să vă reamintesc că folosim codul numărul 47):

80 - 152 - 136 - 546 - 695719 - 100 - 224 - 555 - 412 - 111 - 640 - 102 - 152 - 12881 - 444 - 77777777 - 59 - 408 - 373 - 1234567 - 341 - XNUMX - XNUMX - XNUMX

Ei bine, gândiți-vă, ce este atât de complicat, niște conturi. Am început. Începutul anilor 80. Regula cunoscută:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Continua asa:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Mânca! Prima literă a mesajului este K. Uf, ușor, dar cât timp va dura?

Să vedem și câte probleme avem de avut cu numărul 1234567. Abia a șaisprezecea oară vom obține un număr mai mic de 25 și anume 12. Deci 1234567 este L.

Bine, s-ar putea spune, dar această operație aritmetică este atât de simplă încât programarea ei pe computer va sparge codul imediat. Da este adevarat. Acestea sunt calcule simple pe calculator. idee cu cifru public și este, de asemenea, despre îngreunarea calculelor pentru computer. Lasă-l să funcționeze cel puțin o sută de ani. Va decripta mesajul? Nu contează. Nu va conta mult timp. Acesta este (mai mult sau mai puțin) despre ce se referă cifrurile publice. Se pot sparge dacă lucrezi foarte mult timp... până când știrile nu mai sunt relevante.

 a dat mereu naștere „contraarmelor”. Totul a început cu o sabie și un scut. Serviciile Secrete plătesc sume uriașe de bani matematicienilor talentați pentru a inventa metode de criptare pe care computerele (inclusiv cele create de noi) nu le vor putea sparge în secolul al XNUMX-lea.

secolul douăzeci și doi? Nu este atât de greu de știut că sunt deja mulți oameni în lume care vor trăi în acest secol frumos!

Oh, nu? Ce se întâmplă dacă îmi cer (eu, ofițerul secret contactat de „Tânărul tehnician”) să criptez cu numărul de cod 23? Sau 17? Simplu:

Fie ca nu trebuie să folosim niciodată matematica în astfel de scopuri.

***

Titlul articolului este despre poezie. Ce treaba are ea cu asta?

Precum ce? Poezia criptează și lumea.

Cum?

Prin metodele lor - asemănătoare celor algebrice.