Premiul Abel

Puțini cititori vor spune ceva despre numele Abel. Nu, nu este vorba despre tânărul nefericit ucis de propriul său frate, Cain. Mă refer la matematicianul norvegian Niels Henrik Abel (1802–1829) și la premiul care îi poartă numele care tocmai a fost acordat (16 martie 2016) de către Academia Norvegiană de Științe și scrisori către Sir Andrew J. Wiles. Acest lucru îi compensează pe matematicieni pentru că au fost excluși de Alfred Nobel în clasamentul categoriei celui mai important premiu pentru știință din lume.

Deși matematicienii apreciază așa-numitele. Medalia Fields (considerat oficial cel mai înalt dafin din domeniul său), este asociat cu doar 15 mii. (nu milioane, mii!) dolari canadieni până la câștigător Premiile Abel pune în buzunar un cec de 6 milioane de coroane norvegiene (aproximativ 750 8 euro). Laureații Nobel primesc 865 milioane SEK, sau aproximativ XNUMX mii. euro - mai puțin decât jucătorii de tenis pentru că au câștigat un turneu mare. Există mai multe motive probabile pentru care Alfred Nobel nu a inclus matematicienii printre posibilii câștigători de premii. Testamentul lui Nobel s-a ocupat de „invenții și descoperiri” care aduc cele mai mari beneficii omenirii, dar probabil nu teoretice, ci practice. Matematica nu a fost considerată o știință care ar putea aduce beneficii practice omenirii.

De ce Abel

Cine a fost Niels Henrik Abel si cum a devenit celebru? Trebuie să fi fost genial, pentru că deși a murit de tuberculoză la doar 27 de ani, avea un loc permanent în matematică. Ei bine, deja în liceu, ei ne învață să rezolvăm ecuații; primul grad, apoi pătrat și uneori cubic. În urmă cu patru sute de ani, oamenii de știință italieni au fost capabili să facă față ecuația cuarticăchiar și cel care pare nevinovat:

si din care unul dintre elemente

Da, oamenii de știință ar fi putut face acest lucru deja în secolul al XNUMX-lea. Nu este greu de ghicit că au fost luate în considerare ecuațiile de grade superioare. Si nimic. Nimeni nu a reușit în două sute de ani. Niels Abel a eșuat și el. Și apoi și-a dat seama că... poate că nu se poate deloc. Se poate dovedi imposibilitatea rezolvării unei asemenea ecuaţii - sau mai bine zis, exprimând soluția în formule aritmetice simple.

A fost primul din 2. ani (!) de acest tip de raționament: ceva nu se poate dovedi, ceva nu se poate face. Monopolul asupra unor astfel de dovezi aparține matematicii - științele practice sparg barierele din ce în ce mai mult. În 1888, președintele Comisiei de brevete din SUA a declarat că „sunt de așteptat puține invenții în viitor, pentru că aproape totul a fost deja inventat”. Astăzi ne este greu să râdem de asta... Dar la matematică, odată dovedită, se pierde. Nu se poate face.

Istoria împarte descoperirea pe care am descris-o Niels Abel i Evarist Galois, amandoi au murit inainte de varsta de XNUMX de ani, subestimati de contemporanii lor. Niels Abel este unul dintre puținii matematicieni norvegieni cu faimă largă (de fapt doi, celălalt este Sofus Li, 1842-1899 - numele de familie nu sună scandinav, dar ambele erau norvegieni nativi).

Norvegienii sunt în dezacord cu suedezii - din păcate, acest lucru este comun în rândul popoarelor vecine. Unul dintre motivele pentru instituirea Premiului Abel de către norvegieni a fost dorința de a le arăta compatrioților lor Alfred Nobel: vă rog, nu suntem mai răi.

Urmărirea intrării în marjă inexistente

Iată-l pe Niels Henrik Abel pentru tine. Acum despre câștigătorul premiului, un englez de 63 de ani (care locuiește în SUA). Isprava lui din 1993 nu putea fi comparată decât cu escaladarea Everestului, escaladarea lunii sau ceva de genul acesta. Cine este domnule Andrew Wiles? Dacă te uiți la lista publicațiilor sale și la diferiții indici posibili de citare, el va fi un bun om de știință - există mii de ele. Cu toate acestea, el este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni. Cercetările sale se referă la teoria numerelor și utilizează relații cu geometrie algebrică Oraz teoria reprezentării.

A devenit celebru pentru rezolvarea unei probleme care era complet nesemnificativă din punctul de vedere al matematicii dovada ultimei teoreme a lui Fermat (cine nu știe ce se întâmplă - vă reamintesc mai jos). Cu toate acestea, valoarea reală nu a fost soluția în sine, ci crearea unei noi metode de testare care a fost folosită pentru a rezolva multe alte probleme importante.

Este imposibil să nu reflectăm în acest moment asupra importanței unor chestiuni, asupra ierarhiei realizărilor umane. Sute de mii de tineri visează să bată mingea mai bine decât alții, zeci de mii vor să se expună vântului din Himalaya, să sară cauciuc pe un pod, să scoată sunete pe care ei le numesc cântând, să înfunde alimente nesănătoase în alții... sau să rezolve nicio ecuație inutilă. Primul cuceritor al Muntelui Everest, Sir Edward Hillary, a răspuns direct la întrebarea de ce a mers acolo: „Pentru că este, pentru că este Everest!” Autorul acestor cuvinte a fost matematician toată viața, a fost rețeta mea de viață. Singura corectă! Dar să terminăm cu această filozofie. Să ne întoarcem pe calea sănătoasă a matematicii. De ce toată agitația legată de Teorema lui Fermat?

Bănuiesc că știm cu toții ce sunt numere prime. Cu siguranță toată lumea înțelege expresia „descompuneți în factori primi”, mai ales când fiul nostru transformă ceasurile în piese.

Pierre de Fermat (1601-1665) a fost avocat din Toulouse, dar s-a ocupat și de matematică amator și cu rezultate destul de bune, pentru că a intrat în istoria matematicii ca autor al multor teoreme de teoria și analiza numerelor. Obișnuia să-și pună remarcile și comentariile în marginile cărților pe care le citea. Și exact - în jurul anului 1660, el a scris într-una dintre margini:

Iată-l pe Pierre de Fermat pentru tine. De pe vremea lui (și permiteți-mi să vă reamintesc că curajosul nobil gascon d'Artagnan a trăit în Franța la acea vreme, iar Andrzej Kmitsich a luptat cu Bohuslav Radziwill în Polonia), sute și poate chiar mii de matematicieni mari și mici au încercat fără succes să reconstruiască raţionamentul pierdut al unui amator strălucit . Deși astăzi suntem siguri că dovada lui Fermat nu poate fi corectă, a fost enervant că simpla întrebare dacă ecuația xⁿ + yⁿ = gⁿ, n> 2 are soluții în numere naturale? poate fi atât de greu.

Mulți dintre matematicienii care au venit la muncă pe 23 iunie 1993, au găsit în e-mail-ul lor (care era atunci o invenție proaspătă, încă caldă) un mesaj laconic: „Zvonuri din Marea Britanie: Wiles dovedește Fermat”. A doua zi, presa cotidiană a scris despre asta, iar ultima din seria de prelegeri Wiles a adunat presa, televiziunea și fotojurnaliştii - la fel ca la o conferinţă a unui fotbalist celebru.

Oricine a citit „Satana din clasa a șaptea” de Kornel Makuszyński își amintește cu siguranță ce a făcut domnul Iwo Gąsowski, fratele profesorului de istorie, al cărui sistem de chestionare a elevilor descoperit de Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski tocmai rezolva ecuația Fermat, pierde timp, proprietăți și neglijează casa:

Până la urmă, domnul Iwo a înțeles că facturile asupra puterilor nu vor asigura fericirea familiei și a renunțat. Lui Makuszyński nu-i plăcea știința, dar avea dreptate în privința domnului Gąsowski. Iwo Gąsowski a făcut o greșeală fundamentală. Nu a încercat să devină specialist în sensul bun al cuvântului, ci s-a comportat ca un amator. Andrew Wiles este un profesionist.

Povestea luptei împotriva Ultimei Teoreme a lui Fermat este interesantă. Se poate observa destul de simplu că este suficient să le rezolvi pentru exponenții care sunt numere prime. Pentru n = 3 soluția a fost dată în 1770. Leonard Euler, pentru n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) și Adrien Marie Legendre în 1830, iar la n = 7 – Gabriel Lame în 1840. În secolul al XNUMX-lea, matematicianul german și-a dedicat cea mai mare parte a energiei problemei lui Fermat Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Deși nu a obținut succesul final, a dovedit o mulțime de cazuri speciale și a descoperit multe proprietăți importante ale numerelor prime. O mare parte din algebra modernă, aritmetica teoretică și teoria algebrică a numerelor își datorează originea lucrării lui Kummer asupra teoremei lui Fermat.

La rezolvarea problemei lui Fermat prin metodele teoriei clasice a numerelor, acestea au fost împărțite în două cazuri diferite de complexitate: primul, când presupunem că produsul xyz este copprim cu exponentul n, iar al doilea, când numărul z este egal divizibil cu exponent. În al doilea caz, se știa că nu existau soluții până la n = 150, iar în primul caz, până la n = 000 (Lehmer, 6). Aceasta însemna că un posibil contraexemplu ar fi imposibil în orice caz: ar fi nevoie de bancnote de miliarde de cifre pentru a-l obține.

Iată o poveste veche pentru tine. La începutul anului 1988, în lumea matematică se știa că Yoiti Miyaoka a dovedit o inegalitate, din care a rezultat următoarele: dacă doar exponentul n este suficient de mare, atunci ecuația lui Fermat cu siguranță nu are soluții. Comparativ cu rezultatul ceva mai devreme al germanului Gerd Faltings (1983) Rezultatul lui Miyaoka a însemnat că, dacă există soluții, atunci (din punct de vedere al proporționalității) există doar un număr finit de ele. Astfel, soluția problemei lui Fermat se reduce la enumerarea finalului multor cazuri. Din păcate, câți dintre ele nu erau cunoscute: metodele folosite de Miyaoka nu permiteau estimarea câte erau deja „în ordine”.

Este demn de remarcat aici că, timp de mulți ani, studiul teoremei lui Fermat a fost realizat nu în cadrul teoriei numerelor pure, ci în cadrul geometriei algebrice, o disciplină matematică derivată din algebră și o extensie a geometriei analitice carteziene, iar acum răspândindu-se aproape peste tot: de la bazele matematicii (teoria topoi în logică), prin analiză matematică (metode coomologice, snopi funcționali), geometrie clasică, până la fizica teoretică (mănunchiuri vectoriale, spații twistor, solitoni).

Când onorurilor nu le pasă

De asemenea, este dificil să nu fii trist pentru soarta matematicianului, a cărui contribuție la rezolvarea problemei lui Fermat este foarte semnificativă. Eu vorbesc despre ArakielSuren Iurievici Arakelov, matematician ucrainean cu rădăcini armene), care la începutul anilor 80, când era în anul patru, a creat așa-zisul. teoria intersecției asupra varietăților aritmetice. Astfel de suprafețe sunt pline de găuri și incompletitudine, iar curbele de pe ele pot dispărea brusc, parcă, și apoi reapar. Teoria intersecției explică cum se calculează gradul de intersecție a unor astfel de curbe. Acesta a fost instrumentul principal folosit de Faltings și Miyaoka în munca lor asupra problemei lui Fermat.

Odată, Arakelov a fost invitat să-și prezinte rezultatele la un mare congres de matematică. Cu toate acestea, pentru că era critic la adresa sistemului sovietic, i s-a refuzat permisiunea de a pleca. Curând a fost înrolat în armată. El a demonstrat sfidător că era împotriva serviciului militar în general, din motive pacifiste. După cum am aflat din surse destul de dubioase, ar fi fost trimis la un spital de psihiatrie închis, unde a petrecut aproximativ un an. După cum știți, aparent în scopuri politice, psihiatrii sovietici au evidențiat un tip special de schizofrenie (în engleză de la, care înseamnă „leneș”, în rusă schizofrenie lenta).

Este greu de spus sută la sută cum a fost cu adevărat, pentru că sursele mele de informații nu sunt foarte de încredere. Se pare că, după ce a părăsit spitalul, Arakelov a petrecut câteva luni într-o mănăstire din Zagorsk. În prezent, locuiește la Moscova cu soția și cei trei copii. El nu face matematică. Andrew Wiles este plin de onoruri și bani.

Din punctul de vedere al unei societăți europene bine hrănite, pasul este și el de neînțeles Grigory Perelman, care în 2002 a rezolvat cea mai faimoasă problemă topologică a secolului al XX-lea”,Conjectura PoinariȘi apoi a respins toate premiile posibile. Mai întâi medalia Fields, menționată la început, pe care matematicienii o consideră echivalentă cu Premiul Nobel, iar apoi premiul de un milion de dolari pentru rezolvarea uneia dintre cele mai importante șapte probleme de matematică rămase din secolul XX. „Alții au fost mai buni, nu-mi pasă de onoruri, pentru că matematica este hobby-ul meu, am mâncare și țigări”, a spus el, mai mult sau mai puțin, lumii uluite.

Succes după mai bine de 300 de ani

Marea teoremă a lui Fermat a fost cu siguranță cea mai faimoasă și mai eficientă problemă matematică. A fost deschis de peste trei sute de ani, a fost formulat într-un mod foarte clar și lizibil și teoretic era posibil să atace oricine, iar în epoca popularizării computerelor era relativ ușor să încerci să doborâm un alt record în evaluare. solutii posibile. În istoria matematicii această problemă, prin rolul său inspirator, a jucat un rol foarte important „formator de cultură”, contribuind la apariția unor discipline matematice întregi. Acest lucru este ciudat, deoarece problema în sine este relativ banală și simpla informație despre lipsa rădăcinilor în ecuația Fermat nu a contribuit prea mult la tezaurul general al cunoștințelor matematice.

În 1847, Gabriel Lamet (1795-1870) a ținut o prelegere la Academia Franceză de Științe în care a anunțat soluția problemei lui Fermat. Cu toate acestea, a fost observată imediat o eroare subtilă de raționament. Sa bazat pe utilizarea neautorizată a teoremei unice de descompunere. Ne amintim de la școală că fiecare număr are o defalcare unică în factori primi, de exemplu, 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Numărul 503 nu are divizori (cu excepția lui 1 și 503 însuși), așa că nu poate fi extins mai mult.

Proprietatea unicității distribuției este deținută de numere întregi pozitive, dar printre alte mulțimi numerice, acestea nu trebuie să fie. De exemplu, pentru numerele de caractere

avem 36 = 2²⋅2³ ,dar deasemenea

Analizând demonstrația lui Lame, Kummer a reușit să demonstreze validitatea conjecturii lui Fermat pentru unii exponenți ai p. Le-a numit nume prime obișnuite. Acesta a fost primul pas important către o dovadă completă. În jurul teoremei lui Fermat a apărut un mit. „Sau poate că este și mai rău – poate că nici măcar nu poți dovedi că este posibil sau imposibil de rezolvat?”

Dar încă din anii 80, toată lumea a simțit că obiectivul este aproape. Îmi amintesc că Zidul Berlinului era încă în picioare și deja ascultam prelegeri despre „în curând, într-o clipă”. Ei bine, cineva trebuia să fie primul. Andrew Wiles și-a încheiat prelegerea cu un flegm englezesc: „Cred că Fermat o dovedește”, și a durat ceva timp până când publicul aglomerat și-a dat seama ce s-a întâmplat: o problemă de matematică veche de 330 de ani a fost lucrată intens de sute de matematicieni de la regimentul însuși și nenumărați amatori, precum Ivo Gonsovsky din romanele lui Makushinsky. Iar Andrew Wiles a avut onoarea de a da mâna cu Harald V, Regele Norvegiei. Poate că nu a dat atenție modestei indemnizații pentru Premiul Abel, vreo câteva sute de mii de euro - de ce are nevoie de atât de mulți bani?